父母与儿子私下书写的父母永久居住权合同，在符合法定条件的情况下是有效的。以下从多个角度为您详细分析：
一、合同的有效性条件
书面形式：
- 根据《中华人民共和国民法典》第三百六十七条，设立居住权，当事人应当采用书面形式订立居住权合同。因此，父母与儿子私下书写的居住权合同，只要采用书面形式，即满足了形式要件。
合同内容：
- 居住权合同一般应包括当事人的姓名或名称和住所、住宅的位置、居住的条件和要求、居住权期限（如为永久居住权应明确）、解决争议的方法等条款。父母与儿子在合同中应明确这些内容，以确保合同的完整性和有效性。
登记手续：
- 根据《中华人民共和国民法典》第三百六十八条，设立居住权的，应当向登记机构申请居住权登记。居住权自登记时设立。因此，父母与儿子在签订居住权合同后，应及时到当地房管部门（不动产登记机构）办理居住权登记，以确保居住权的合法设立。
二、合同的法律效力与保障
法律效力：
- 经过公证和登记的居住权合同具有法律效力，双方必须严格遵守合同约定。如发生纠纷，可依据合同内容和相关法律法规进行维权，确保居住权的合法有效。
法律保障：
- 父母在子女房产上设立的居住权受到《中华人民共和国民法典》等相关法律法规的严格保障。在居住权设立后，父母有权按照合同约定在子女房产中居住，子女不得擅自干涉或剥夺父母的居住权。
三、可能存在的风险与注意事项
合同条款的明确性：
- 父母与儿子在签订居住权合同时，应确保合同条款的明确性和具体性，避免出现模糊或歧义的条款。例如，应明确居住权的期限（如为永久居住权）、居住的条件和要求等，以减少后续纠纷的可能性。
登记手续的及时性：
- 双方在签订居住权合同后，应及时办理居住权登记手续。未经登记，居住权不发生效力。因此，及时办理登记手续是确保居住权合法设立的关键步骤。
子女产权的变动：
- 虽然设立了居住权，但子女的房产产权仍然归其所有。在子女需要出售房产或进行重大修缮时，可能需要与父母协商解决居住权问题。因此，父母在签订居住权合同时，应考虑这一因素，并在合同中约定相应的解决方案。
四、实际操作建议
签订书面合同：
- 父母与儿子应签订书面形式的居住权合同，并明确合同内容，包括当事人的信息、住宅的位置、居住的条件和要求、居住权期限等。
办理公证与登记：
- 双方签订居住权合同后，建议到公证处进行公证，以增强合同的法律效力。随后，应到当地房管部门（不动产登记机构）办理居住权登记手续。
保留相关证据：
- 在签订合同和办理登记过程中，父母应保留好相关证据，如合同文本、公证证明、登记证明等，以备不时之需。
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