当劳动合同到期，用人单位不续签且不给予经济补偿时，您确实需要采取一系列措施来维护自己的合法权益。以下是我为您详细梳理的步骤和建议：
一、明确法律依据与自身权益
首先，您需要了解《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定。根据该法第四十六条第五项，除非用人单位维持或提高劳动合同约定条件续订而您不同意，否则劳动合同期满终止时，用人单位应向您支付经济补偿。补偿标准通常是按您在本单位的工作年限来计算，每满一年支付一个月工资，六个月以上不满一年按一年计，不满六个月则支付半个月工资。
二、与用人单位沟通协商
- 尝试友好沟通：您可以先尝试与用人单位进行友好协商，明确表达您的诉求，即要求用人单位按照法律规定支付经济补偿。
- 保留沟通证据：在沟通过程中，建议您保留好聊天记录、通话录音等证据，以备后续可能需要的维权之用。
三、寻求行政帮助与调解
- 向劳动行政部门投诉：如果协商无果，您可以向当地劳动行政部门投诉，并提交相关证据材料。劳动行政部门有权进行调查处理，并责令用人单位支付经济补偿。如果用人单位逾期不支付，还可能面临加付赔偿金的处罚。
- 申请调解（可选）：在部分地区，您还可以选择向劳动争议调解委员会申请调解，以更柔和的方式解决争议。
四、申请劳动仲裁
- 提交仲裁申请：如果行政处理或调解未能解决问题，您可以在知道权利被侵害之日起一年内，向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。申请时需要提交书面仲裁申请及相关证据材料。
- 等待仲裁裁决：仲裁庭将开庭审理，并根据双方提供的证据和陈述作出裁决。一般情况下，裁决应在受理申请之日起四十五日内作出，复杂案件可延期但不超过十五日。
五、向法院提起诉讼
- 提起诉讼：如果您对仲裁裁决不满或用人单位不履行支付义务，您可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。起诉时需要提交起诉状及相关证据材料。
- 等待法院审理与执行：法院将按照民事诉讼程序审理案件，并根据查明的事实和法律规定作出判决。判决生效后，如果用人单位仍不履行支付义务，您可以申请强制执行，法院将采取相应措施确保您的权益得到实现。
关于是否签订解除劳动合同关系的问题：
在劳动合同到期且用人单位不续签的情况下，劳动合同自然终止，无需再签订解除劳动合同关系的协议。但为了确保您的权益不受损害，建议您在离职前与用人单位确认好离职手续、工资结算、经济补偿等事项，并保留好相关证据。
六、注意事项
- 注意时效：劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，请务必在规定时效内采取行动。
- 咨询专业律师：在处理过程中，建议您咨询专业劳动法律师以获取更具体、针对性的建议和指导。
综上所述，当劳动合同到期不续签且用人单位未给予经济补偿时，您应依法通过协商、投诉、仲裁、诉讼等途径维护自己的合法权益。希望这些建议能对您有所帮助。