结论前置：工作五个月没签合同，不影响你应聘新工作，但原工作单位可能面临法律风险，且你针对原单位有维权权利。以下从应聘、原单位法律责任、你的维权权利三个角度展开说明：

1. 应聘新工作不受影响
   从应聘角度，法律并未限制未与原单位签订劳动合同的人员应聘新工作。只要符合新单位的招聘条件（如学历、技能、经验等），你完全可以正常投递简历、参加面试。不过需注意：若新单位要求提供与原单位的离职证明，而原单位因未签合同拒绝出具，可能影响入职流程。此时可与新单位沟通说明情况，或通过法律途径要求原单位出具（如向劳动监察部门投诉）。

2. 原单位未签合同需承担法律责任
   根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍工资。你已工作五个月，原单位未签合同，你有权要求其支付四个月的双倍工资差额（即额外支付四个月工资）。若原单位拒绝，可向当地劳动仲裁委员会申请仲裁，主张该权利。

3. 你需注意的维权细节

   • 证据收集：保留能证明劳动关系存在的证据，如工资条、考勤记录、工作证、同事证言、工作邮件等。这些是主张双倍工资的关键。
     
   • 时效限制：劳动仲裁时效为一年，自你知道或应当知道权利被侵害之日起计算（即从工作第二个月起算）。建议尽快行动，避免超期。
     
   • 离职不影响维权：即使你已从原单位离职，仍可主张未签合同的双倍工资，只要未超过仲裁时效。

总结：未签合同不影响你应聘新工作，但原单位需为你支付双倍工资差额。若需进一步了解维权流程或证据收集方法，可直接向我咨询。