结论：当公司开除员工且不给补偿时，员工完全有权通过劳动仲裁来维护自己的合法权益。以下是详细的劳动仲裁步骤及注意事项：
一、明确仲裁请求与法律依据
确认公司行为违法性：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，公司开除员工若不符合法定情形（如员工严重违反公司规章制度、严重失职等），或未按照法定程序进行（如未提前通知、未支付经济补偿等），则构成违法解除劳动合同。
- 违法解除劳动合同的，员工有权要求公司支付赔偿金，赔偿金标准为经济补偿金的二倍。经济补偿金按员工在公司工作的年限计算，每满一年支付一个月工资，不满半年支付半个月工资。
确定仲裁请求：
- 员工应明确要求公司支付赔偿金（或经济补偿金，若公司行为虽不合法但符合支付经济补偿金的情形）及可能存在的其他费用（如拖欠的工资、加班工资等）。
二、准备仲裁材料
收集证据：
- 劳动关系证明：包括劳动合同、工资支付记录（银行流水、工资条）、社保缴纳记录、工作证、考勤记录等。
- 辞退事实证明：如辞退通知、解除劳动合同的书面文件，或相关的录音录像、聊天记录等。
- 工资及工作年限证明：工资条、收入证明、入职登记表、离职证明等，用于计算赔偿金或经济补偿金。
撰写仲裁申请书：
- 仲裁申请书应包含申请人与被申请人的基本信息、仲裁请求、事实和理由等。事实和理由部分应详细阐述公司开除员工的行为、未支付补偿金的事实及法律依据。
准备其他材料：
- 提供申请人的身份证复印件、被申请人的工商登记信息等。
三、提交仲裁申请
查找管辖的劳动仲裁委员会：
- 向劳动合同履行地或用人单位所在地（注册地或主要办事机构所在地）的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。
提交申请：
- 将准备好的仲裁申请材料提交给有管辖权的劳动仲裁委员会，可通过亲自提交或邮寄方式（保留邮寄凭证）。
四、参加仲裁审理
等待受理和通知：
- 仲裁委员会受理申请后，会送达仲裁申请书副本给公司，并要求公司在规定期限内提交答辩书。同时，确定开庭日期并通知双方当事人。
参加庭审：
- 熟悉案件事实和证据，准备好陈述意见和辩论要点。
- 在庭审中如实陈述仲裁请求和事实理由，出示证据并进行质证，反驳对方观点。
等待仲裁裁决：
- 仲裁庭在审理结束后作出仲裁裁决，一般在受理仲裁申请之日起四十五日内作出（复杂案件可延期十五日）。裁决书送达双方当事人。
五、执行仲裁裁决
- 若公司对仲裁裁决未提起诉讼且未履行支付义务，员工可向人民法院申请强制执行，提交强制执行申请书、仲裁裁决书等相关材料。
六、其他注意事项
仲裁时效：
- 劳动争议申请仲裁的时效期间为一年，从当事人知道或者应当知道其权利被侵害之日起计算。务必在时效内申请仲裁，避免超期丧失胜诉权。
仲裁期间不影响求职：
- 员工在等待仲裁结果期间可以继续寻找新的就业机会，仲裁不会影响员工的求职权利。
法律咨询与援助：
- 若在仲裁过程中遇到法律难题或需要进一步的法律帮助，员工可以随时向我咨询，我将提供专业的法律意见和援助。
总结与建议：面对公司开除且不给补偿的情况，员工应积极收集证据、准备材料，并按照法定程序向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。在整个过程中，保持冷静、理性，并依法行事是维护自己权益的关键。同时，了解并熟悉相关法律法规也是提高维权成功率的重要保障。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。