结论：您能否因家中特殊情况请假时间长被厂子开除而起诉厂子，这主要取决于厂子开除您的行为是否合法，具体来说，要看是否符合《中华人民共和国劳动合同法》中关于用人单位解除劳动合同的规定。

分析如下：

1. 合法解除劳动合同的情形：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条，劳动者有下列情形之一的，用人单位可以解除劳动合同：…（六）被依法追究刑事责任的。以及第四十条，有下列情形之一的，用人单位提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，可以解除劳动合同：…（一）劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；（二）劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；（三）劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
   • 如果您的情况并不符合上述任何一条，且您请假是出于合理原因（如家中特殊情况，且已按照公司规定履行请假手续），那么厂子单方面开除您可能构成违法解除劳动合同。

2. 违法解除劳动合同的后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十八条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。
   • 第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。第四十七条则规定了经济补偿的计算方式，即按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

3. 建议行动：

   • 首先，回顾您请假的情况，确认是否已按照公司规定履行了请假手续，且请假原因合理。
   • 其次，收集相关证据，如请假条、公司开除通知、工资单等，以证明您的权益受到侵害。
   • 最后，您可以考虑与厂子进行协商，要求恢复劳动关系或支付赔偿金。如果协商无果，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，或者向人民法院提起诉讼。

总结：您能否起诉厂子，关键在于厂子开除您的行为是否合法。如果厂子无法证明其开除行为符合法律规定，那么您有权要求厂子承担违法解除劳动合同的法律责任。如有进一步疑问或需要法律帮助，请直接向我咨询。