结论：公司以不能胜任工作和生意淡为由，在未提前通知的情况下直接辞退工作半年的员工，属于违法辞退；同时，未签订劳动合同也违反了法律规定。
一、关于违法辞退
辞退理由的合法性：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位辞退员工必须基于合法、合理的理由，并且需要遵循一定的程序。不能胜任工作和生意淡通常不是直接辞退的合法理由，除非这些情况导致了劳动合同无法继续履行，且用人单位已经采取了合理的调整岗位或培训等措施。
- 在您的情况下，公司未提前通知，也未提供不能胜任工作的具体证据或调整岗位、培训等措施，直接以不能胜任和生意淡为由辞退您，这不符合法律规定的辞退程序和理由。
违法辞退的后果：
- 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 您在公司工作了半年，如果月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，则经济补偿的标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付经济补偿的年限最高不超过十二年；如果月工资未高于当地上年度职工月平均工资三倍的，则公司应支付您一个月工资作为经济补偿的两倍，即两个月工资作为赔偿金。
二、关于未签订劳动合同
未签订劳动合同的法律责任：
- 根据《劳动合同法》第十条，建立劳动关系，应当订立书面劳动合同。已建立劳动关系，未同时订立书面劳动合同的，应当自用工之日起一个月内订立书面劳动合同。
- 在您的情况下，公司未与您签订劳动合同，违反了上述法律规定。
未签订劳动合同的赔偿：
- 根据《劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
- 因此，您有权要求公司支付您工作期间（除第一个月外）的双倍工资差额。
建议：
- 您可以先与公司进行协商，要求公司支付违法辞退的赔偿金和未签订劳动合同的双倍工资差额。
- 如果协商不成，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 在申请劳动仲裁时，您需要提供相关证据，如工作证、工资条、考勤记录等，以证明您与公司存在劳动关系以及公司违法辞退和未签订劳动合同的事实。
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