您好，关于您提出的“没有申请见习资质的小企业是否可以与员工签见习协议”的问题，以下是我的详细解答：
首先，我们需要明确一点，没有申请见习资质的小企业，在法律和政策层面上，是不被允许与员工签订见习协议的。这是因为就业见习制度是由人力资源和社会保障部门认定的，旨在为离校2年内未就业高校毕业生和16-24岁失业青年提供适宜的见习岗位，以提升他们的综合素质和职业能力，增强就业竞争力。这一制度要求见习基地（即提供见习岗位的单位）必须具备一定的条件和资质，以确保见习活动的规范性和有效性。
具体来说，申请成为就业见习单位（或基地）需要满足一系列条件，这些条件通常包括但不限于：
依法成立并登记：单位必须是在我市范围内依法成立（注册）、登记的各类企事业单位及其他组织。
符合产业发展导向：单位应符合我市产业发展导向，具有一定发展潜力，规模适中，经济效益和社会效益良好，且有较强的社会责任感。
提供适宜见习岗位：单位能持续提供一定数量适合就业见习的岗位，这些岗位应具备一定的技术含量和业务内容，有利于毕业生提高技能水平和工作能力，同时人身意外伤害风险较低。
具备见习管理能力和条件：单位应有专门的见习指导老师，完备的见习管理制度、见习计划和考核制度，能够按时为见习生发放基本生活补助、办理人身意外伤害保险等。
无不良信用记录：单位应无不良信用记录，以确保其诚信经营和履行社会责任。
如果小企业没有申请并获得见习资质，那么它就不具备上述条件，因此无法与员工签订见习协议。即使小企业与员工签订了类似协议，这种协议也可能因缺乏法律和政策依据而无效，无法保障双方的权益。
因此，我建议您的小企业如果希望开展就业见习活动，应首先向当地人力资源和社会保障部门申请见习资质，并按照相关要求完善自身条件和管理制度。这样不仅可以确保见习活动的规范性和有效性，还可以为小企业吸引和培养更多优秀人才，促进企业的长远发展。
希望以上解答能够对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的咨询，请随时告诉我。