肇事者死亡后，其家属一般不直接承担肇事者的法律责任，但受害者或其家属可以在肇事者的遗产范围内主张权利。以下是对这一问题的详细分析：

一、责任主体与继承关系

1. 肇事者责任：肇事者是侵权行为的直接责任人，原本应承担相应的法律责任。然而，当肇事者死亡时，其民事权利能力和民事行为能力终止，无法再作为被告被起诉。
2. 家属责任：家属（如配偶、子女、父母等）并非侵权行为的直接责任人，除非他们存在共同侵权行为或需承担替代责任（如雇主对雇员的职务行为承担责任），否则一般不直接成为被告。

二、遗产继承与债务清偿

1. 遗产继承：根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，继承人以所得遗产实际价值为限清偿被继承人依法应当缴纳的税款和债务。这意味着，如果肇事者留有遗产，且家属继承了该遗产，那么家属需要在继承遗产的范围内对肇事者生前的债务（包括因侵权行为产生的民事赔偿责任）进行清偿。
2. 清偿范围：家属的清偿责任仅限于继承的遗产范围内，超出遗产实际价值的部分，家属没有法律义务进行清偿，除非他们自愿偿还。

三、法律程序与实际操作

1. 确定遗产情况：受害者或其家属应首先确定肇事者是否留有遗产以及遗产的范围和价值。这可能需要通过调查、查询相关财产记录等方式进行。
2. 提起诉讼：在确定肇事者留有遗产且家属继承了该遗产后，受害者或其家属可以向法院提起诉讼，请求在肇事者的遗产范围内进行赔偿。诉讼时需提供充分证据证明肇事者的遗产情况、家属的继承情况以及损害事实。
3. 参与庭审与等待判决：按照法院的安排参加庭审，陈述事实和理由，提供证据支持自己的主张。法院将根据事实和法律规定作出判决，确定在遗产范围内进行赔偿的具体金额和方式。

四、特殊情况与注意事项

1. 家属自愿承担：如果肇事者的家属自愿承担部分或全部赔偿责任，可以与受害者或其家属协商达成和解协议。但这种和解协议是双方自愿的行为，不具有强制执行力。
2. 共同侵权行为：如果家属与肇事者在侵权行为中存在共同故意或共同过失，构成共同侵权，那么家属应与肇事者共同承担侵权责任。即使肇事者死亡，家属仍需对全部侵权行为承担责任。

举例说明：假设肇事者因交通事故导致他人死亡，且肇事者本人也在事故中死亡。如果肇事者留有房产、存款等遗产，且其配偶、子女等家属继承了这些遗产，那么受害者或其家属有权向法院提起诉讼，要求在肇事者的遗产范围内进行赔偿。法院将根据实际情况和法律规定，判决在遗产范围内进行赔偿的具体金额和方式。

建议：在处理此类问题时，受害者或其家属应尽快咨询专业律师（即我，程晴晴律师，专注于婚姻家庭、交通事故领域），了解具体的法律程序和操作步骤，以便更好地维护自己的合法权益。同时，也要注意收集和保存相关证据，如事故证明、损失清单、医疗记录等，以便在诉讼过程中提供有力的支持。