双方私下签订了医疗赔偿协议后，仍然有可能起诉，但具体能否起诉及起诉的效果需视情况而定。以下从不同角度为您详细分析：

一、协议内容合法有效且已履行完毕

如果双方签订的医疗赔偿协议内容合法，没有违反法律、行政法规的强制性规定，也没有违背公序良俗，且双方已经按照协议内容履行完毕，那么该协议通常具有法律效力。在这种情况下，如果一方再就同一事项起诉，法院可能会以“一事不再理”的原则驳回起诉。因为双方已经通过协议解决了争议，且已经履行完毕，再次起诉缺乏法律依据。

二、协议内容存在瑕疵或未履行完毕

1. 协议内容存在瑕疵：如果协议内容存在重大误解、显失公平、欺诈、胁迫等情形，导致协议内容不公平或违法，那么受损方有权请求法院或仲裁机构变更或撤销该协议。在协议被变更或撤销后，受损方可以就原争议事项重新起诉。例如，如果医疗机构利用患者缺乏医学知识，故意隐瞒病情或治疗风险，导致患者签订了不公平的赔偿协议，患者可以在发现真相后请求撤销协议并重新起诉。

2. 协议未履行完毕：如果双方虽然签订了赔偿协议，但协议中的某些条款尚未履行完毕，或者一方未按照协议约定履行义务，那么另一方有权就未履行部分或违约行为起诉。在这种情况下，起诉的焦点将是协议的履行情况或违约责任。例如，如果医疗机构承诺支付赔偿金但未按时支付，患者可以起诉要求医疗机构履行支付义务并承担违约责任。

三、协议外存在新的事实或证据

如果双方签订赔偿协议后，出现了新的事实或证据，这些事实或证据与原协议内容相关且可能影响协议的效力或履行，那么一方有权就新的事实或证据起诉。在这种情况下，起诉的目的是为了解决新出现的问题或争议。例如，如果患者在签订赔偿协议后发现医疗机构存在更严重的医疗过错行为，导致患者遭受了更大的损失，患者可以起诉要求医疗机构承担额外的赔偿责任。

法律建议

1. 在签订赔偿协议前，务必仔细阅读协议内容，确保协议内容合法、公平、明确，并充分考虑自己的权益和风险。
2. 如果协议内容存在疑问或不明确之处，建议咨询专业律师，以便获得更准确的法律意见和指导。
3. 在签订协议后，务必按照协议约定履行义务，避免违约行为导致不必要的法律纠纷。
4. 如果发现协议内容存在瑕疵或新的事实、证据出现，及时与对方协商解决或寻求法律途径维护自己的权益。

如果您在医疗赔偿协议方面有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。