中标第一家废标后，第二家是否可以不签字，需分情况讨论：

1. 若第二家已确定为中标人且无合法废标理由
   根据《招标投标法》第四十五条，中标通知书对招标人和中标人具有法律效力。若第一家因法定原因（如资质造假、串标等）被废标，且第二家经评标委员会依法确定为中标人，则第二家无正当理由拒绝签字的，可能构成违约。招标人有权要求其承担缔约过失责任，包括赔偿招标费用、重新招标损失等。此时，第二家通常需履行签字义务。

2. 若第二家存在合法拒绝签字的情形

   • 招标程序违法：如招标文件存在重大歧义、评标过程违反公开公平原则（如未公示评分细则、暗箱操作等），第二家可依据《招标投标法实施条例》第六十一条提出异议或投诉，拒绝签字并要求重新招标。
     
   • 自身条件变化：若第二家在中标公示后因客观原因（如破产、资质被吊销）无法履行合同，可提供证明文件并书面说明情况，此时拒绝签字不构成违约。
     
   • 合同条款显失公平：若中标合同条款存在重大不合理（如要求第二家承担超出其能力的责任），第二家可依据《民法典》第四百九十七条主张条款无效，但需通过法律程序确认，而非直接拒绝签字。

3. 若第二家未被正式确定为中标人
   若第一家废标后，招标人尚未完成对第二家的资格审查或评标程序（如仅发布中标候选人公示），则第二家无需签字。此时招标人可能启动重新评标或选择第三家，第二家仅需配合调查或提供补充材料。

实务建议：

• 第二家应首先核查招标文件、评标报告及废标通知，确认自身中标地位是否合法有效。
  
• 若认为存在违法情形，应在知道或应当知道之日起10日内向行政监督部门投诉（《招标投标法实施条例》第六十条），而非直接拒绝签字。
  
• 拒绝签字前需评估法律风险，建议书面说明理由并留存证据，避免被追究缔约过失责任。
  

如有具体招标文件或废标通知内容，可进一步分析风险点。