结论前置：关于第一次履行赡养义务执行款已付，后续是否需待对方申请第二次支付才支付的问题，这取决于生效法律文书的具体内容及执行程序的安排，不能一概而论。以下分情况详细说明：

1. 若生效法律文书（如判决书、调解书）明确规定了赡养费的支付周期和金额：

   • 在这种情况下，赡养义务人应当按照法律文书确定的时间和金额主动履行支付义务，无需等待对方再次申请。例如，若法律文书规定每月支付一定金额的赡养费，则义务人应在每月的固定日期前主动支付，而非等待权利人申请。
   • 若义务人未按时支付，权利人可以向法院申请强制执行，此时法院将依法采取措施，如冻结银行账户、扣划工资等，以强制义务人履行支付义务。

2. 若生效法律文书未明确规定赡养费的支付周期和金额，而是采取“按需支付”或“一次性支付部分，后续根据实际情况再支付”等灵活方式：

   • 在这种情况下，赡养义务人可能需要根据权利人的实际需求或双方协商的结果来支付赡养费。若权利人认为需要再次支付赡养费，可以向义务人提出请求，或向法院申请强制执行（如果之前已有执行案件且未完全履行）。
   • 然而，这并不意味着义务人必须等待对方申请才支付。从道德和法律义务的角度出发，义务人应当主动关心权利人的生活状况，并在合理范围内提供必要的经济支持。

3. 关于执行程序的注意事项：

   • 无论哪种情况，一旦进入执行程序，义务人都应当积极配合法院的工作，如实申报财产状况，不得隐匿、转移财产以逃避执行。
   • 若义务人认为执行行为存在违法或不当之处，可以通过合法途径提出异议或申请复议，但不得以此为由拒绝履行支付义务。

建议：为了避免不必要的法律纠纷和执行成本，建议您在履行赡养义务时，尽量与权利人协商确定一个明确的支付计划和金额，并严格按照计划履行。若遇到特殊情况或困难，应及时与权利人沟通并寻求解决方案。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。