结论：公务员不给解决问题且不让下班的情况，需根据具体情境和身份来分析应对策略。若您本身是公务员，可能涉及内部管理或工作纪律问题；若您是与公务员打交道的普通公民，则可能涉及公务员不作为或滥用职权的问题。以下从这两个角度进行详细分析。
一、若您本身是公务员
内部管理流程：
- 沟通协商：首先，尝试与直接上级或相关部门负责人进行沟通，明确表达您的工作进展和遇到的困难，寻求指导和支持。
- 遵循程序：如果沟通无果，应按照单位内部的规章制度和流程，向上级部门或人事部门反映情况，寻求正式的解决方案。
- 记录证据：在整个过程中，保留好相关的工作记录、沟通记录等证据，以备不时之需。
工作纪律与权益：
- 了解规定：熟悉并了解公务员的工作纪律和权益，确保自己的行为符合规定，同时也有权要求单位遵守相关规定。
- 申诉机制：如果认为自己的权益受到侵害，可以通过单位内部的申诉机制或向上级机关反映情况，维护自己的合法权益。
二、若您是与公务员打交道的普通公民
公务员不作为：
- 法律依据：根据《中华人民共和国公务员法》等相关法律法规，公务员有义务履行职责，为公民提供服务。如果公务员无正当理由拒绝履行职责，可能构成不作为。
- 投诉渠道：您可以通过单位内部的投诉渠道、上级机关、纪检监察机关或信访部门等途径进行投诉，要求公务员履行职责或给予答复。
- 法律救济：如果投诉无果，您还可以考虑通过行政诉讼等法律途径来维护自己的合法权益。
公务员滥用职权：
- 行为认定：如果公务员在解决问题过程中存在滥用职权、故意刁难等行为，您有权进行举报和投诉。
- 举报途径：您可以向纪检监察机关、上级机关或相关部门进行举报，提供详细的证据和情况说明。
- 法律后果：公务员滥用职权可能面临行政处分、法律责任等后果，您有权要求相关部门进行调查和处理。
建议与行动：
- 保持冷静：在面对公务员不给解决问题且不让下班的情况时，保持冷静和理性，避免情绪化行为。
- 收集证据：尽可能收集相关证据，如工作记录、沟通记录、现场照片或视频等，以支持您的主张。
- 寻求帮助：如果无法自行解决问题，可以寻求法律援助或咨询专业律师，了解自己的权益和可行的法律途径。
后续思考：
- 完善制度：从制度层面思考如何完善公务员的管理和监督机制，防止类似问题的再次发生。
- 提升服务：公务员应不断提升自己的服务意识和能力，为公民提供更加高效、便捷的服务。
如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供专业的法律意见。