结论前置：一般情况下，原先自己交社保，现在单位给交，通常无权直接起诉要求赔偿，但在特定情形下可能存在例外。以下分情况详细说明：
单位正常缴纳社保且无违规行为
- 如果单位按照法律规定，在你入职后及时为你办理社保登记，并按照规定的缴费基数和比例正常缴纳社保费用，不存在少缴、漏缴等违规情形。那么在这种情况下，单位的行为是合法合规的，你无权起诉要求赔偿。因为单位履行了其法定的社保缴纳义务，你的社保权益得到了保障，不存在因单位行为而遭受损失的情况。
- 例如，你入职一家新公司，公司在你入职当月就为你办理了社保手续，按照你实际的工资水平作为缴费基数，按时足额缴纳了各项社保费用，包括养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险。此时，你就不能以单位给你交社保为由起诉要求赔偿。
单位存在违规缴纳社保行为
- 少缴社保费用：如果单位为了降低成本，未按照你实际的工资水平作为缴费基数，而是按照较低的标准缴纳社保费用，导致你未来能够享受的社保待遇降低，比如养老金减少、医保报销额度受限等。这种情况下，你可以先与单位协商，要求单位补缴少缴的社保费用。如果协商不成，你可以向当地社保部门投诉举报，由社保部门责令单位补缴。若因单位少缴社保费用给你造成了实际损失，且通过社保部门处理后仍无法弥补，你可以考虑通过法律途径起诉单位，要求单位赔偿你的损失。
- 漏缴社保费用：单位在你入职后未及时为你办理社保登记，导致一段时间内你的社保处于断缴状态。这可能会影响你享受某些社保待遇，比如在断缴期间如果发生工伤，可能无法享受工伤保险待遇；在断缴期间生病就医，可能无法使用医保报销等。对于这种情况，你可以先要求单位补缴漏缴的社保费用，并恢复你的社保权益。如果因漏缴社保费用给你造成了实际损失，如无法报销的医疗费用、应享受而未享受的工伤待遇等，你可以起诉单位要求赔偿。
- 未缴纳全部险种：根据法律规定，单位应当为员工缴纳养老保险、医疗保险、失业保险、工伤保险和生育保险这五项社会保险。如果单位只为你缴纳了部分险种，而未缴纳其他险种，导致你无法享受相应的社保待遇，例如未缴纳生育保险，你在生育时无法享受生育津贴和生育医疗费用报销等。这种情况下，你可以要求单位补缴未缴纳的险种，若因未缴纳险种给你造成了实际损失，你可以起诉单位要求赔偿。
单位以交社保为由侵害其他权益
- 如果单位以给你交社保为条件，要求你放弃其他合法权益，比如要求你签订不合理的劳动合同条款、降低你的工资待遇、延长工作时间且不支付加班费等。这种情况下，单位的行为属于违法行为，你不仅可以就社保问题向相关部门反映，还可以就单位侵害的其他权益起诉单位，要求单位承担相应的法律责任，赔偿你的损失。例如，单位要求你签订一份合同，约定你的工资低于当地最低工资标准，并以给你交社保作为交换条件，此时你就可以拒绝签订该合同，并向劳动监察部门投诉，若因签订该合同给你造成了损失，你可以起诉单位要求赔偿。