结论：该行为既可能构成故意伤害罪，也可能在特定情形下被认定为寻衅滋事罪，具体需结合案件细节来判断。以下从两罪的构成要件及本案可能情形进行分析：
一、故意伤害罪
构成要件：
- 主观方面：行为人具有伤害他人的故意，即明知自己的行为会造成他人身体伤害，并且希望或者放任这种结果发生。
- 客观方面：实施了伤害他人身体的行为，且造成了轻伤以上的后果。
本案分析：
- 在本案中，行为人拿酒杯打了对方头部，且造成了轻伤二级的后果，这符合故意伤害罪客观方面的要求。
- 若行为人主观上具有伤害对方的故意，即明知自己的行为会造成对方身体伤害，并且希望或者放任这种结果发生，那么该行为就可能构成故意伤害罪。
二、寻衅滋事罪
构成要件：
- 主观方面：行为人出于寻求刺激、发泄情绪、逞强耍横等动机，无事生非或者借故生非。
- 客观方面：实施了随意殴打他人，情节恶劣的行为，或者追逐、拦截、辱骂、恐吓他人，情节恶劣的行为，或者强拿硬要或者任意损毁、占用公私财物，情节严重的行为，或者在公共场所起哄闹事，造成公共场所秩序严重混乱的行为。
本案分析：
- 若行为人是在喝酒过程中，因争吵拌嘴等琐事，出于发泄情绪、逞强耍横等动机，随意殴打对方，且情节恶劣（如造成轻伤二级等后果），那么该行为就可能构成寻衅滋事罪。
- 寻衅滋事罪中的“随意殴打他人”并不要求行为人具有明确的伤害故意，而是强调行为的随意性和情节的恶劣性。因此，即使行为人没有明确的伤害故意，但只要其行为符合寻衅滋事罪的构成要件，就可能构成该罪。
三、两罪的区别与联系
区别：
- 故意伤害罪主要关注的是行为人是否具有伤害他人的故意，以及是否造成了轻伤以上的后果。
- 寻衅滋事罪则更注重行为的随意性和情节的恶劣性，以及行为是否对社会秩序造成了破坏。
联系：
- 在某些情况下，两罪可能存在竞合关系。例如，当行为人出于伤害故意实施殴打行为，但同时该行为也符合寻衅滋事罪的构成要件时，就可能构成两罪的竞合。
- 在处理此类案件时，需要根据具体案情和证据情况，综合判断行为人的行为更符合哪一罪的构成要件，或者是否构成两罪的竞合。
四、法律建议
- 对于行为人：若面临此类指控，应尽快咨询专业律师，详细陈述案情，以便律师根据具体情况提供法律辩护策略。
- 对于受害者：若遭受此类伤害，应及时报警并保留相关证据，如医疗记录、现场照片等，以便后续维权。
有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况，给出更详细的法律分析和建议。