针对检察院不建议行政处罚也不作出刑事起诉的案件中非法采出的矿产品的处理问题，以下是我的详细解答：

1. 矿产品的法律属性与处理原则

   • 非法采出的矿产品，因其来源的非法性，在法律上通常被视为违法所得或赃物。根据《中华人民共和国刑法》及相关司法解释，对于违法所得，应当予以追缴或者责令退赔。在检察院不建议行政处罚也不作出刑事起诉的情况下，这一原则依然适用，即非法采出的矿产品应当被依法处理，以消除其非法状态。

2. 具体处理方式

   • 没收与上缴：根据《中华人民共和国矿产资源法》及相关规定，非法采出的矿产品，如果属于国家所有，且未被合法权利人追认或无法确定合法权利人的，应当由有关机关依法没收，并上缴国库。这是处理非法采矿所得的一种常见方式，旨在维护国家矿产资源的所有权和矿产资源开发秩序。
   • 返还与赔偿：如果非法采出的矿产品能够确定合法权利人，且该权利人未参与非法采矿行为，那么这些矿产品应当返还给合法权利人。同时，如果非法采矿行为给合法权利人造成了损失，非法采矿者还应当承担赔偿责任。
   • 拍卖或变卖：在特定情况下，如非法采出的矿产品数量较大、不易保存或需要快速处理时，有关机关可以依法对其进行拍卖或变卖，并将所得款项上缴国库或用于赔偿合法权利人的损失。但这一处理方式需要严格遵循法定程序，确保公开、公平、公正。

3. 处理程序与监督

   • 处理程序：在处理非法采出的矿产品时，有关机关应当遵循法定程序，包括调查取证、认定事实、作出处理决定等。同时，应当确保处理决定的合法性和合理性，避免滥用职权或侵犯当事人合法权益。
   • 监督与救济：当事人对处理决定不服的，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。这有助于保障当事人的合法权益，确保处理决定的公正性和合法性。

4. 特殊情况下的处理

   • 检察院的建议与意见：虽然检察院在此类案件中不建议行政处罚也不作出刑事起诉，但其可能根据案件具体情况提出其他建议或意见。有关机关在处理非法采出的矿产品时，应当充分考虑检察院的建议或意见，确保处理决定的全面性和合理性。
   • 跨部门协作：在处理非法采出的矿产品时，可能涉及多个部门的协作和配合。例如，矿产资源管理部门、公安机关、检察机关等应当加强沟通协调，形成工作合力，共同打击非法采矿行为，维护矿产资源开发秩序。

总结与建议：非法采出的矿产品应当根据具体情况依法进行处理，包括没收与上缴、返还与赔偿、拍卖或变卖等方式。在处理过程中，应当遵循法定程序，确保处理决定的合法性和合理性。同时，当事人对处理决定不服的，可以依法申请行政复议或提起行政诉讼。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。