体制内老师在网上机构兼职是否违法，需分情况讨论，具体如下：

1. 若兼职行为违反了与体制内单位的劳动合同或相关规章制度：

   • 法律后果：根据《劳动合同法》的相关规定，劳动者若违反劳动合同中的保密义务、竞业限制或者违反用人单位的规章制度，用人单位有权解除劳动合同，并可能要求劳动者承担赔偿责任。对于体制内老师而言，如果其与单位签订的劳动合同或单位规章制度中明确禁止兼职，或者兼职行为影响了本职工作，那么该老师可能面临纪律处分，甚至被解除劳动合同的风险。
   • 建议：体制内老师在考虑兼职前，应仔细审查与单位签订的劳动合同及单位规章制度，确保兼职行为不违反相关规定。

2. 若兼职行为未违反劳动合同或规章制度，但涉及利益冲突或影响本职工作：

   • 法律后果：即使兼职行为未直接违反劳动合同或规章制度，但如果该行为导致了利益冲突（如利用体制内资源为兼职机构谋取利益）或影响了本职工作（如因兼职而疏忽教学任务），那么该老师仍可能面临纪律处分或法律责任。
   • 建议：体制内老师在兼职时，应确保兼职行为不会与本职工作产生利益冲突，且不会影响本职工作的质量和效率。同时，应保持高度的职业操守和道德标准，避免任何可能损害体制内单位声誉或利益的行为。

3. 若兼职行为完全合法且合规，且未影响本职工作：

   • 法律后果：如果体制内老师的兼职行为完全符合法律法规和单位规章制度的要求，且未对本职工作产生任何负面影响，那么该行为通常是合法的，不会面临法律后果。
   • 建议：尽管如此，体制内老师在兼职时仍应保持谨慎态度，确保兼职行为不会引发任何潜在的法律风险或道德争议。同时，应合理安排时间，确保本职工作和兼职工作都能得到妥善处理。

额外提醒：体制内老师作为公职人员，其言行举止往往受到更多的社会关注和监督。因此，在兼职时，除了考虑法律合规性外，还应考虑社会影响和职业形象。如果兼职行为可能引发公众质疑或争议，建议谨慎考虑或避免进行。

总结：体制内老师在网上机构兼职是否违法，取决于多种因素，包括劳动合同、规章制度、利益冲突、本职工作影响等。在考虑兼职前，建议体制内老师仔细审查相关法律法规和单位规章制度，确保兼职行为的合法性和合规性。如有任何疑问或担忧，可直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供专业的法律意见。