监护人不能随意将被监护人的房产赠予自己。这一行为在法律上通常是被视为无效的，因为它违背了监护人的基本职责和法律规定。

首先，我们需要明确监护人的职责。根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，监护人的主要职责是代理被监护人实施民事法律行为，并保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益。这意味着监护人在处理被监护人的财产时，必须遵循最有利于被监护人的原则，且除为维护被监护人利益外，不得擅自处分被监护人的财产。

接下来，我们分析监护人将被监护人房产赠予自己的行为。这种行为本质上是一种财产处分行为，它直接涉及到了被监护人的财产权益。如果监护人未经被监护人同意，或者未经法定程序（如法院批准等），就擅自将被监护人的房产赠予自己，那么这种行为就构成了对被监护人财产权益的侵害。

从法律后果来看，如果监护人擅自将被监护人的房产赠予自己，被监护人或其法定代理人（如其他监护人、亲属等）有权向法院提起诉讼，要求确认该赠与行为无效，并要求监护人返还财产或赔偿损失。在多个实际案例中，法院都认定了监护人擅自处分被监护人财产的行为无效，并判决监护人承担相应的法律责任。

此外，如果监护人严重侵害被监护人的合法权益，包括擅自处分其财产等行为，法院还可以根据有关个人或组织的申请，撤销其监护人资格。这意味着监护人不仅可能面临法律责任，还可能失去其监护人的身份和地位。

因此，我强烈建议监护人在处理被监护人的财产时，务必遵循法律规定和最有利于被监护人的原则。如果确实需要处分被监护人的财产（如出售、赠与等），应当事先征得被监护人的同意（如果被监护人具备相应的民事行为能力），或者经过法定程序（如法院批准等）的确认。这样才能确保行为的合法性和有效性，避免不必要的法律纠纷和损失。