结论：根据您描述的情况，公司是否承担责任需视具体情况而定，主要取决于摔伤是否构成工伤以及公司是否存在过错。以下从不同角度为您详细分析：

一、是否构成工伤

根据《工伤保险条例》第十四条第六项的规定，职工在上下班途中，受到非本人主要责任的交通事故或者城市轨道交通、客运轮渡、火车事故伤害的，应当认定为工伤。因此，若您在下班途中摔伤是由于非本人主要责任的交通事故导致，那么您的情况可能构成工伤。此时，公司需要按照工伤保险的相关规定承担赔偿责任，包括医疗费、停工留薪期工资、伤残补助金等。

举例说明：如果您在下班途中，因道路湿滑不慎摔倒，且摔倒的原因并非由于您自身的主要责任（如未遵守交通规则等），而是由于道路状况不佳等外部因素导致，那么您的情况可能符合工伤的认定条件。

若摔伤不构成工伤，即摔伤并非由于交通事故或非本人主要责任的交通事故导致，那么公司通常不需要承担工伤保险责任。但此时，我们还需要考虑公司是否存在其他过错。

二、公司是否存在过错

即使摔伤不构成工伤，如果公司存在过错，如安排的工作量超标导致您身体疲惫，进而在下班途中因身体原因摔伤，公司也可能需要承担一定的民事赔偿责任。这主要基于《民法典》中关于侵权责任的规定，即行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。

分析角度：

1. 工作量超标与摔伤之间的因果关系：您需要证明工作量超标与摔伤之间存在直接的因果关系。这可能需要您提供医疗证明、工作记录等证据来支持您的主张。
2. 公司的过错程度：即使存在因果关系，公司承担的赔偿责任也会因其过错程度而有所不同。如果公司只是轻微超标安排工作，且摔伤的主要原因在于您自身的不注意，那么公司可能只需承担部分责任。反之，如果公司严重超标安排工作，且摔伤的主要原因在于工作导致的身体疲惫，那么公司可能需要承担更大的责任。

三、建议与行动

1. 及时收集证据：无论是否构成工伤，您都应尽快收集相关证据，如医疗证明、工作记录、事故现场照片等，以便在后续的法律程序中证明自己的主张。
2. 与公司协商：在收集到足够证据后，您可以尝试与公司进行协商，看是否能够达成和解协议，由公司承担一定的赔偿责任。
3. 申请工伤认定：如果您认为摔伤构成工伤，那么您应在规定的时间内向当地的社会保险行政部门提出工伤认定申请。
4. 寻求法律援助：如果协商无果或您对工伤认定结果有异议，那么您可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。

最后，每个案件的具体情况都有所不同，因此上述分析仅供参考。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。