结论前置：同居期间给对方购买的金镯子，在没有发票的情况下能否要回，需分情况讨论，主要取决于金镯子的性质是赠与还是附条件赠与，以及是否符合法定撤销赠与的情形。以下分情况详细说明：

1. 若金镯子被认定为一般赠与：

   • 根据《民法典》的相关规定，赠与合同是赠与人将自己的财产无偿给予受赠人，受赠人表示接受赠与的合同。在同居关系中，一方出于表达爱意、增进感情等目的，自愿将金镯子赠与对方，且对方已接受，该赠与行为即成立并生效。
   • 若金镯子被认定为一般赠与，且不存在法定撤销赠与的情形（如严重侵害赠与人或其近亲属的合法权益、对赠与人有扶养义务而不履行、不履行赠与合同约定的义务等），则赠与人无权要求受赠人返还金镯子。
   • 发票作为购买凭证，虽然在一定程度上能证明金镯子的来源和价值，但并非赠与合同成立和生效的必要条件。因此，即使没有发票，也不影响赠与合同的效力。

2. 若金镯子被认定为附条件赠与：

   • 附条件赠与是指赠与人在赠与财产时，附加了一定的条件，只有当条件成就时，赠与才生效或继续有效。在同居关系中，如果一方赠与金镯子时明确表示了附条件（如以结婚为目的），且该条件未成就（如双方未结婚），则赠与人有权要求受赠人返还金镯子。
   • 在这种情况下，即使没有发票，赠与人仍可以依据附条件赠与的约定，要求受赠人返还金镯子。但赠与人需要承担举证责任，证明赠与时确实附带了条件，且该条件未成就。

3. 关于发票的补充说明：

   • 发票作为购买凭证，在证明金镯子的来源和价值方面具有一定作用。如果双方因金镯子的返还问题产生争议，发票可以作为辅助证据，帮助法院或仲裁机构更准确地认定金镯子的价值。
   • 然而，发票并非决定赠与合同效力或能否返还的唯一因素。在没有发票的情况下，法院或仲裁机构仍会根据赠与合同的性质、双方当事人的陈述和证据等综合判断，作出公正裁决。

建议：如果您希望要回金镯子，首先尝试与对方协商解决，明确表达您的诉求和理由。如果协商无果，您可以考虑通过法律途径解决争议。在此过程中，建议您收集并保留相关证据，如赠与时的聊天记录、转账记录、证人证言等，以支持您的主张。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。