结论：受完工伤后第一个医院没住院还签了字，是否会产生影响，这主要取决于签字的具体内容以及后续是否及时进行了工伤认定和医疗救治。以下从不同角度进行分析：
一、签字内容的影响
若签字内容为放弃治疗或相关权益：
- 如果您在第一个医院签字时，内容涉及放弃进一步治疗、放弃工伤认定或相关赔偿权益等，这可能会对您后续的工伤认定和赔偿产生不利影响。因为这样的签字可能被视为您对自身权益的放弃，从而在后续的法律程序中成为对您不利的证据。
若签字内容仅为一般性确认：
- 如果您在第一个医院签字的内容仅是对就诊事实、病情确认等一般性内容的确认，而没有涉及放弃任何权益或义务，那么这样的签字通常不会对您后续的工伤认定和赔偿产生直接影响。但您仍需注意，及时进行工伤认定和医疗救治是保障自身权益的关键。
二、后续行动的重要性
及时进行工伤认定：
- 无论您在第一个医院是否住院或签字，及时进行工伤认定是保障自身权益的首要步骤。根据《工伤保险条例》的规定，职工发生事故伤害或者按照职业病防治法规定被诊断、鉴定为职业病，所在单位应当自事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起30日内，向统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。遇有特殊情况，经报社会保险行政部门同意，申请时限可以适当延长。如果用人单位未按规定提出工伤认定申请的，工伤职工或者其近亲属、工会组织在事故伤害发生之日或者被诊断、鉴定为职业病之日起1年内，可以直接向用人单位所在地统筹地区社会保险行政部门提出工伤认定申请。
及时进行医疗救治：
- 工伤发生后，及时进行医疗救治是保障身体健康和恢复劳动能力的关键。即使您在第一个医院没有住院，也应尽快前往其他医疗机构进行救治，并保留好相关的医疗记录和费用单据，以便后续进行工伤赔偿时提供证据。
三、建议与措施
审查签字文件：
- 建议您仔细审查在第一个医院签字的文件内容，确认是否涉及放弃任何权益或义务。如果发现有问题，应及时与医院或相关方沟通，并考虑寻求法律帮助。
及时咨询专业律师：
- 如果您对工伤认定、赔偿等法律问题存在疑问或担忧，建议及时咨询专业律师。律师可以根据您的具体情况，为您提供专业的法律意见和帮助，确保您的权益得到充分保障。
保留好相关证据：
- 在处理工伤事宜过程中，建议您保留好所有相关的证据材料，包括医疗记录、费用单据、工伤认定决定书等。这些证据材料在后续的法律程序中可能起到关键作用。
总结来说，受完工伤后第一个医院没住院还签了字，是否会产生影响取决于签字的具体内容以及后续是否及时进行了工伤认定和医疗救治。为了保障自身权益，建议您仔细审查签字文件、及时进行工伤认定和医疗救治，并在必要时咨询专业律师。如果您有任何法律问题或需要进一步的帮助，请直接向我咨询。