结论：您的情况确实可以申请赔偿，因为用人单位未与劳动者签订书面劳动合同是违法的，您有权要求用人单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额。

法律背景与解释：

1. 法律规定：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条的规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。这意味着，如果用人单位在您入职后的一年内没有与您签订书面劳动合同，您有权要求用人单位支付这段时间的双倍工资差额。

2. 赔偿计算：

   • 赔偿的计算方式通常是基于您实际工作的月数，减去第一个月（因为法律规定的是“超过一个月”），然后乘以您当月的工资。例如，如果您工作了10个月且未签订劳动合同，那么您可以要求用人单位支付9个月的双倍工资差额（即9个月的工资总额，因为第一个月不计算在内）。
   • 具体计算公式为：赔偿金额 = （工作月数 - 1）× 月工资。需要注意的是，这里的“月工资”是指您在用人单位实际领取的月平均工资，包括基本工资、奖金、津贴等所有货币性收入。

3. 申请流程与注意事项：

   • 申请流程：您需要先与用人单位协商，要求其支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额。如果协商不成，您可以向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，提交相关证据（如工作证、工资条、考勤记录等）来证明您与用人单位存在劳动关系以及未签订书面劳动合同的事实。
   • 注意事项：在申请劳动仲裁前，建议您先收集并整理好相关证据，以确保您的权益得到充分保障。同时，您也需要注意劳动仲裁的时效性，通常是在知道或应当知道自己的权益受到侵害之日起一年内提出申请。

4. 可能面临的法律后果：

   • 如果用人单位在劳动仲裁或诉讼过程中被认定确实存在未与劳动者签订书面劳动合同的违法行为，那么用人单位将需要支付您要求的双倍工资差额，并可能面临劳动行政部门的处罚。

建议与行动：

• 我建议您尽快与用人单位进行协商，明确表达您的诉求和法律依据，要求用人单位支付未签订书面劳动合同的双倍工资差额。
• 如果协商不成，您可以及时向当地的劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询，我会为您提供专业的法律支持和建议。