结论前置：针对您工作10年、现年51岁且合同到期单位不续签的情况，根据《劳动合同法》的相关规定，您有权获得相应的经济补偿，并可根据具体情况考虑是否要求单位续签劳动合同或主张其他权益。以下是对此问题的详细分析：

1. 经济补偿的获取：

   • 根据《劳动合同法》第四十四条、第四十六条及第四十七条的规定，劳动合同期满，除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外，用人单位应当向劳动者支付经济补偿。
   • 经济补偿的计算方式为：按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。因此，您工作10年，应获得10个月工资的经济补偿。

2. 考虑要求单位续签劳动合同：

   • 如果您希望继续在该单位工作，且认为单位有续签合同的意愿或可能性，您可以与单位进行协商，要求续签劳动合同。
   • 特别是如果您属于《劳动合同法》第四十二条规定的特定情形（如在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力、患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的等），单位不得依据第四十四条第一项（劳动合同期满）的规定终止劳动合同，而应当续延至相应的情形消失时终止。但您的情况（51岁、工作10年）并不直接属于这些特定情形，除非您能证明存在其他符合法律规定的特殊情况。

3. 主张其他权益：

   • 如果单位拒绝支付经济补偿或拒绝续签劳动合同，且您认为单位的做法违反了法律规定，您可以向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，要求单位支付经济补偿或履行续签劳动合同的义务。
   • 在仲裁过程中，您需要提供相关证据来支持您的主张，如劳动合同、工资单、工作证明等。

行动建议：

• 首先，与单位进行友好协商，明确单位不续签合同的原因，并要求单位按照法律规定支付经济补偿。
• 如果协商无果，您可以收集相关证据，向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自己的合法权益。
• 在整个过程中，保持冷静和理性，避免采取过激行为，以免对自己的权益造成不必要的损害。

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