在告保险公司（即提起诉讼）的同时，一般不可以直接申请再审，因为再审程序有其特定的适用条件和启动时机。以下是对这一问题的详细分析：

1. 诉讼与再审的基本概念

   • 诉讼：是指当事人因民事权益纠纷，向人民法院提起诉讼，请求法院依法裁判的行为。在保险纠纷中，这通常指的是投保人、被保险人或受益人因保险公司未履行保险合同义务而向法院提起的诉讼。
   • 再审：是指人民法院对已经发生法律效力的判决、裁定，发现确有错误，依法再次进行审理的程序。再审程序是一种特殊的救济程序，旨在纠正已经生效但确有错误的裁判。

2. 再审的启动条件

   • 再审程序并非随时可以启动，它必须满足一定的条件。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，再审的启动通常基于以下几种情形：有新的证据，足以推翻原判决、裁定的；原判决、裁定认定基本事实缺乏证据证明的；原判决、裁定认定事实的主要证据是伪造的；原判决、裁定认定事实的主要证据未经质证的；对审理案件需要的主要证据，当事人因客观原因不能自行收集，书面申请人民法院调查收集，人民法院未调查收集的；原判决、裁定适用法律确有错误的；审判组织的组成不合法或者依法应当回避的审判人员没有回避的；无诉讼行为能力人未经法定代理人代为诉讼或者应当参加诉讼的当事人，因不能归责于本人或者其诉讼代理人的事由，未参加诉讼的；违反法律规定，剥夺当事人辩论权利的；未经传票传唤，缺席判决的；原判决、裁定遗漏或者超出诉讼请求的；据以作出原判决、裁定的法律文书被撤销或者变更的；以及审判人员在审理该案件时有贪污受贿，徇私舞弊，枉法裁判行为的。

3. 诉讼与再审的关系

   • 在诉讼过程中，如果当事人对一审判决不服，可以在法定期限内提起上诉，进入二审程序。二审程序是对一审程序的救济程序，旨在纠正一审程序中的错误。
   • 只有当判决、裁定已经发生法律效力后，且满足再审的启动条件时，当事人才能向人民法院申请再审。因此，在诉讼过程中（即一审或二审阶段），当事人不能直接申请再审。

4. 针对保险公司的诉讼与再审

   • 如果当事人因保险公司未履行保险合同义务而提起诉讼，并获得了一审或二审判决，且该判决已经发生法律效力，但当事人认为判决存在错误，那么可以在满足再审条件的情况下向人民法院申请再审。
   • 但在此之前，当事人必须先经历一审或二审程序，并获得生效判决。在诉讼过程中，当事人不能直接跳过一审或二审程序而申请再审。

总结来说，在告保险公司（即提起诉讼）的同时，一般不可以直接申请再审。如果当事人认为生效判决存在错误，可以在满足再审条件的情况下向人民法院申请再审。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。