结论概述：针对您描述的情况，即劳动合同期满前一个月公司提出不续签，但员工提交病假条要求休医疗期的问题，这涉及到劳动合同终止、医疗期保护以及可能的经济补偿等多个法律层面。以下我将从这几个方面为您详细分析。
一、劳动合同终止与医疗期的关系
劳动合同终止的法定情形：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，劳动合同期满属于劳动合同终止的法定情形之一。然而，当员工处于医疗期时，劳动合同的终止会受到一定的限制。
医疗期的保护：
- 医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。在医疗期内，员工享有不被解除劳动合同的保护，即使劳动合同期满，公司也不得立即终止劳动合同，而应顺延至医疗期满。
二、公司提出不续签与员工医疗期的冲突处理
公司提出不续签的合法性：
- 在劳动合同期满前，公司有权提出不续签劳动合同。但是，如果员工此时正处于医疗期内，公司则不能简单地以劳动合同期满为由终止劳动合同。
员工提交病假条的法律效果：
- 员工提交病假条并处于医疗期内，意味着其享有法律保护的休息和医疗权利。此时，公司应尊重员工的医疗期，不得强行终止劳动合同。
三、可能的法律后果与建议
法律后果：
- 如果公司违反法律规定，在员工医疗期内终止劳动合同，员工有权要求公司继续履行劳动合同或支付违法解除劳动合同的赔偿金。赔偿金的标准通常为经济补偿金的两倍。
建议：
- 对于员工：在提交病假条并处于医疗期内时，应保留好相关医疗证明和病假条，以便在必要时维护自己的合法权益。如果公司提出不续签劳动合同，员工可以与公司协商，要求顺延劳动合同至医疗期满，或者根据法律规定要求公司支付赔偿金。
- 对于公司：在提出不续签劳动合同前，应仔细审查员工的劳动合同状态和医疗期情况。如果员工正处于医疗期内，公司应遵守法律规定，不得强行终止劳动合同。否则，公司可能面临法律纠纷和赔偿风险。
四、具体操作流程（若涉及劳动仲裁）
如果双方无法就劳动合同终止问题达成一致，员工或公司均可向劳动仲裁委员会申请劳动仲裁。劳动仲裁流程通常包括：
提交仲裁申请：
- 申请人需向劳动仲裁委员会提交书面仲裁申请，并附上相关证据材料。
仲裁受理：
- 劳动仲裁委员会在收到申请后，会进行审查并决定是否受理。如果受理，会通知双方当事人并安排开庭时间。
开庭审理：
- 在开庭审理过程中，双方当事人可以陈述自己的观点和理由，并出示相关证据。仲裁员会根据双方当事人的陈述和证据进行裁决。
裁决结果：
- 劳动仲裁委员会会根据审理情况作出裁决结果，并通知双方当事人。如果一方当事人对裁决结果不服，可以在法定期限内向人民法院提起诉讼。
综上所述，针对您描述的情况，公司应在员工医疗期内遵守法律规定，不得强行终止劳动合同。如果双方无法就劳动合同终止问题达成一致，可以通过劳动仲裁等法律途径解决纠纷。如果您有任何进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询。