结论：当职工在病假期间正好遇到劳动合同到期时，劳动合同应当续延至相应的医疗期结束，此时无需立即续签新合同。医疗期结束后，是否续签需根据职工的具体病情、康复情况以及用人单位的用工需求来综合判断。
详细分析
法律规定与合同续延
- 法律依据：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十五条，劳动合同期满时，若劳动者患病或者非因工负伤，且在规定的医疗期内，劳动合同应当续延至相应的情形消失时终止。这意味着，在医疗期内，原劳动合同的效力自动延长，双方劳动关系持续存在，用人单位不能以合同到期为由直接终止劳动合同。
- 续延期限：续延的期限通常至医疗期结束。医疗期的长度根据职工的实际工作年限和在本单位的工作年限来确定，例如，实际工作十年以下，在本单位工作五年以上的，医疗期为六个月。
医疗期结束后的处理
- 职工康复情况：
- 如果职工在医疗期结束后恢复健康，能够重新投入工作，且用人单位无合法解除理由（如经济性裁员、不胜任工作等），则双方应协商签订新的劳动合同或继续履行原合同。
- 如果职工病情严重或复杂，治疗后可能无法再从事原工作，用人单位可能会重新评估续签的必要性，并考虑是否提供其他适合的工作岗位。
- 用人单位意愿：
- 用人单位会基于自身的用工需求和管理规定来决定是否续签。如果认为职工康复后能胜任原工作且符合公司标准，则续签可能性大。
- 若用人单位认为职工无法满足用工要求，可能会选择不续签，但需依法支付经济补偿。经济补偿的金额根据职工在本单位工作的年限来计算，每满一年支付一个月工资的标准向职工支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向职工支付半个月工资的经济补偿。
特殊情况处理
- 不能从事原工作或另行安排的工作：如果劳动者在医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。同时，需按照上述经济补偿规定支付经济补偿。
- 劳动能力鉴定：若医疗期结束时劳动者仍无法工作，单位需依法进行劳动能力鉴定，并根据结果决定是否续签合同或终止劳动关系。
实际操作建议
- 对于职工：
- 积极配合治疗，争取早日康复。
- 与用人单位保持沟通，了解公司的续签意愿和条件，以便做出相应准备。
- 对于用人单位：
- 严格遵守法律法规，确保职工的合法权益得到保障。
- 在处理此类问题时，应综合考虑职工的病情、工作能力以及公司的用工需求，做出合理决策。
示例说明
假设某职工的劳动合同于2023年6月30日到期，但该职工因患病处于医疗期内，医疗期为六个月，至2023年12月31日结束。在此情况下，劳动合同应自动续延至2023年12月31日。若职工在医疗期结束后恢复健康，能够重新投入工作，且用人单位无合法解除理由，则双方应协商签订新的劳动合同或继续履行原合同。若职工无法从事原工作或用人单位无法安排合适岗位，且用人单位决定不续签，则需依法支付经济补偿。
总结：病假期间劳动合同到期的处理方式应严格遵循法律法规的规定，确保员工的合法权益得到充分保障。用人单位在处理此类情况时，应谨慎、合法、合理地进行操作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。