结论：员工因与客户发生工作争执后被突然开除，这一行为是否合法需视具体情况而定，主要取决于公司解除劳动合同的依据是否充分且程序是否合法。以下从不同角度进行分析：
一、公司解除劳动合同的合法性依据
规章制度：
- 分析：公司若以员工严重违反规章制度为由解除劳动合同，需确保该规章制度已经民主程序制定，内容合法合理，且已向员工公示或告知。若规章制度中明确规定了与客户发生争执属于严重违纪行为，且员工确实存在该行为，则公司解除劳动合同可能合法。
- 建议：员工应核实公司规章制度中是否有相关条款，并评估自己行为是否确实违反了这些条款。
劳动合同约定：
- 分析：若劳动合同中明确约定了员工与客户发生争执等特定行为属于解除劳动合同的条件，且该约定不违反法律法规的强制性规定，则公司依据劳动合同约定解除劳动合同可能合法。
- 建议：员工应仔细审查劳动合同中的相关条款，了解自己的权利和义务。
法律规定：
- 分析：根据《劳动合同法》的相关规定，公司解除劳动合同需符合法定情形，如员工严重失职、营私舞弊给公司造成重大损害等。若员工与客户发生争执并未达到严重失职或营私舞弊的程度，且未给公司造成重大损害，则公司解除劳动合同可能违法。
- 建议：员工应了解《劳动合同法》中关于公司解除劳动合同的法定情形，评估自己行为是否符合这些情形。
二、公司解除劳动合同的程序合法性
通知工会：
- 分析：根据《劳动合同法》的规定，公司单方解除劳动合同，应当事先将理由通知工会。若公司未履行通知工会的义务，则解除劳动合同的程序可能违法。
- 建议：员工应了解公司是否履行了通知工会的义务，若未履行，则可主张公司解除劳动合同程序违法。
出具解除证明：
- 分析：公司解除劳动合同后，应当向员工出具解除劳动合同的证明，并在十五日内为员工办理档案和社会保险关系转移手续。若公司未出具解除证明或未办理相关手续，则可能构成违法。
- 建议：员工应要求公司出具解除劳动合同的证明，并核实公司是否已办理档案和社会保险关系转移手续。
三、员工可采取的维权措施
协商：
- 分析：员工可与公司进行协商，了解公司解除劳动合同的具体原因和依据，并尝试达成和解协议。
- 建议：在协商过程中，员工应保持冷静和理性，明确表达自己的诉求和理由。
申请劳动仲裁：
- 分析：若协商无果，员工可向当地劳动争议仲裁委员会申请劳动仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金等。
- 建议：员工在申请劳动仲裁前，应收集相关证据材料，如劳动合同、工资单、工作记录、解除劳动合同的证明等，以支持自己的主张。
提起诉讼：
- 分析：若对劳动仲裁结果不服，员工可向人民法院提起诉讼，要求公司承担相应的法律责任。
- 建议：在提起诉讼前，员工应咨询专业律师，了解诉讼程序和可能的风险及后果。
进一步思考：员工在面对此类情况时，应首先了解自己的权利和义务，评估公司解除劳动合同的合法性和程序合法性。若认为公司解除劳动合同违法或程序不合法，可采取协商、申请劳动仲裁或提起诉讼等措施维护自己的合法权益。同时，员工也应反思自己的行为是否确实存在不当之处，以便在未来的工作中避免类似情况的发生。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。