行政机关未履行涉及公共利益的法定职责时，公民、法人或其他组织有权依法申请行政复议。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据

根据《中华人民共和国行政复议法》第六条的规定，当公民、法人或其他组织申请行政机关履行保护人身权利、财产权利、受教育权利等法定职责，而行政机关没有依法履行时，这些主体可以依照本法申请行政复议。这一条款明确赋予了公民、法人或其他组织在行政机关不履行法定职责时的复议申请权，其中“等法定职责”的表述，也涵盖了涉及公共利益的法定职责。

二、行政复议的作用与意义

1. 监督行政机关依法行政：行政复议制度为公民提供了对行政机关行为进行监督的法律手段。当行政机关不履行或不当履行涉及公共利益的职责时，公民、法人或其他组织可以通过行政复议要求行政机关纠正错误，确保行政行为合法、合理。

2. 保障公民、法人或其他组织合法权益：行政复议是公民、法人或其他组织维护自身合法权益的重要途径。当公共利益受到侵害，且认为行政机关未依法履行职责时，可以通过行政复议请求行政机关履行保护职责，从而维护公共利益，间接保障自身权益。

3. 促进法治政府建设：行政复议制度的实施有助于推动法治政府的建设。通过行政复议，可以发现行政机关在履行职责过程中存在的问题和不足，促使行政机关改进工作作风，提高依法行政水平，更好地维护公共利益。

三、申请行政复议的条件与流程

1. 申请条件：

   • 行政机关具有相应法定职责，且该职责涉及公共利益；
   • 申请人（公民、法人或其他组织）已向行政机关提出过履行法定职责的申请；
   • 行政机关未在规定期限内履行或未充分履行其法定职责。

2. 申请流程：

   • 准备材料：包括申请书、身份证明、行政机关未履行职责的证据等；
   • 提交申请：在知道行政机关未履行法定职责之日起60日内，向有管辖权的复议机关提出复议申请；
   • 复议审查：复议机关在受理后，将对案件进行全面审查，并根据事实和法律作出复议决定；
   • 后续救济：若申请人对复议决定不服，可进一步提起行政诉讼。

四、实际案例分析

以环境保护为例，若某企业违法排放污染物，严重污染环境，损害公共利益，而当地环保部门未依法履行监管职责，未对该企业进行处罚或采取其他有效措施。此时，受影响的公民、法人或其他组织（如周边居民、环保组织等）有权针对环保部门的不作为行为申请行政复议，要求环保部门履行其保护环境的法定职责。

综上所述，行政机关未履行涉及公共利益的法定职责时，公民、法人或其他组织有权依法申请行政复议。这是维护公共利益、监督行政机关依法行政、保障公民合法权益的重要法律途径。如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。