结论：待业期间被开除且不在同一个公司上班的情况下，是否赔偿需分情况讨论，主要取决于开除的原因以及是否与前公司存在未了结的劳动关系或相关法律责任。

1. 若与前公司已无劳动关系：

   • 情况分析：如果您已经与前公司正式解除了劳动关系，并且没有签订任何形式的竞业限制协议或保密协议等可能产生后续法律责任的协议，那么您待业期间被开除（实际上此时您已非前公司员工，严格意义上不适用“开除”一词）与前公司无关，前公司无需对您进行赔偿。
   • 法律建议：在此情况下，您无需向前公司主张任何赔偿，因为您已不再是其员工。若您正在寻找新工作，建议积极更新简历，参加招聘活动，以尽快找到新的就业机会。

2. 若与前公司存在未了结的劳动关系或相关法律责任：

   • 情况一：未解除劳动关系而被非法解除：

     • 情况分析：如果您实际上仍与前公司存在劳动关系，但前公司非法解除了与您的劳动关系（如未提前通知、未支付经济补偿等），则您有权根据《劳动合同法》的相关规定，向前公司主张违法解除劳动关系的赔偿金。
     • 法律依据：根据《劳动合同法》第四十八条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同，劳动者要求继续履行劳动合同的，用人单位应当继续履行；劳动者不要求继续履行劳动合同或者劳动合同已经不能继续履行的，用人单位应当依照本法第八十七条规定支付赔偿金。”以及第八十七条：“用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。”
     • 赔偿计算：赔偿金的具体数额根据您在前公司的工作年限和月工资水平来确定。计算公式为：赔偿金 = 工作年限 × 月工资 × 2（其中，工作年限满六个月不满一年的按一年计算，不满六个月的支付半个月工资的经济补偿；月工资是指劳动者在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资）。

   • 情况二：存在竞业限制或保密协议等：

     • 情况分析：如果您与前公司签订了竞业限制协议或保密协议等，且在待业期间违反了这些协议的规定（如到竞争对手公司工作、泄露公司商业秘密等），前公司有权根据协议约定向您主张违约责任，包括要求您支付违约金或赔偿损失等。但这种情况并不属于“开除”的范畴，而是基于协议约定的违约责任。
     • 法律建议：在此情况下，建议您仔细审查与前公司签订的协议内容，了解自己的权利和义务。若您确实违反了协议规定，建议与前公司协商解决；若协商不成，前公司可能会通过法律途径追究您的责任。

进一步思考：无论您处于何种情况，都建议您保留好与前公司的相关证据（如劳动合同、解除劳动关系证明、工资单、协议等），以便在需要时维护自己的合法权益。同时，若您对劳动法律法规不熟悉或遇到复杂的法律问题，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。您有问题可以直接向我咨询，我会结合您的具体情况给出更详细的解答。