针对“全国连锁店分店倒闭不赔偿”这一问题，核心结论需分情况讨论，具体如下：

1. 若分店为独立法人（如分公司或子公司）且具备独立偿债能力
   根据《公司法》第14条，分公司不具有法人资格，其民事责任由总公司承担；子公司具有独立法人资格，原则上以自身财产承担责任。若分店以“独立核算”为由拒绝赔偿，需核查其工商登记信息：

   • 若登记为分公司，可直接起诉总公司，要求承担连带清偿责任；
     
   • 若登记为子公司，需进一步调查其财产是否与总公司混同（如资金、人员、业务混同），若存在人格混同，可依据《公司法》第20条“法人人格否认”制度，要求总公司对子公司债务承担连带责任。

2. 若分店为非法人分支机构（如加盟店）且无独立偿债能力
   加盟店通常以特许经营合同形式存在，若合同中明确约定“品牌方对加盟店债务不承担责任”，则需优先通过合同条款主张权利。但若存在以下情形，可突破合同相对性：

   • 品牌方存在过错（如未提供合同约定的支持、虚假宣传导致消费者损失），可依据《民法典》第1165条主张侵权责任；
     
   • 加盟店以品牌方名义对外经营（如使用统一商标、店招），可能构成表见代理，消费者有权要求品牌方承担责任（《民法典》第172条）。

3. 若分店已注销登记但未清算债务
   根据《公司登记管理条例》第43条，公司注销前需依法清算并通知债权人。若分店未履行清算义务即注销，可依据《公司法司法解释二》第20条，要求股东、董事或实际控制人对未清偿债务承担赔偿责任。需注意：

   • 需在注销登记之日起3年内主张权利；
     
   • 需提供证据证明分店未依法清算（如未通知债权人、未公告等）。

行动建议：

1. 立即收集证据：包括合同、付款凭证、分店工商登记信息、沟通记录等；
   
2. 核查分店法律地位：通过国家企业信用信息公示系统查询其登记类型；
   
3. 发送律师函：明确要求对方在指定期限内赔偿，保留后续诉讼证据；
   
4. 提起诉讼：根据分店性质选择被告（总公司/子公司/股东），并申请财产保全。
   

若涉及具体案件细节（如赔偿金额、分店性质等），可进一步向我说明，我将结合证据材料提供针对性方案。