企业拖欠农民工工资，主要由以下几个部门负责管理和处理：

1. 劳动监察部门

   • 职责：劳动监察部门是处理拖欠工资投诉的主要机构，它隶属于各地的劳动和社会保障局或厅。该部门有权对用人单位的工资支付情况进行监督检查，责令改正违法行为，并限期支付拖欠工资。若用人单位拒不执行，劳动监察部门还可依法给予行政处罚。
   • 处理方式：农民工应向用工所在地的劳动监察大队提出投诉，携带身份证、劳动合同等能证明劳动关系的相关材料。劳动监察部门将依法调查，并在查实后责令用人单位限期支付工资。

2. 劳动争议仲裁机构

   • 职责：当农民工与用人单位之间存在劳动关系争议，或经劳动监察部门处理未能解决问题时，可向劳动合同履行地或用人单位所在地的劳动争议仲裁委员会申请仲裁。仲裁裁决具有法律效力，若用人单位不履行，农民工可向法院申请强制执行。
   • 处理方式：申请劳动仲裁时，需提交与用人单位存在劳动关系的证明及拖欠工资的证据。劳动仲裁通常是免费的，降低了维权成本。

3. 人民法院

   • 职责：在特定情况下，如权利义务关系明确且不及时支付会严重影响农民工基本生活，农民工可直接向法院申请支付令。若用人单位在规定期限内既不提出异议又不履行支付令，农民工可申请强制执行。此外，对劳动仲裁结果不满意或用人单位不执行仲裁决定时，农民工也可向人民法院提起诉讼。
   • 处理方式：农民工需准备起诉状、证据材料向人民法院提起诉讼，经过立案受理、开庭审理等程序，最终获得判决结果。法院将依据法律法规进行判决，并可采取强制执行措施。

4. 建设行政主管部门（特定于建筑行业）

   • 职责：在建设工程领域，建设行政主管部门负责监管和协调因建设单位或施工总承包企业拖欠工程款导致的分包企业欠薪问题。该部门可协调督促相关企业解决工资拖欠，并对违法违规行为进行查处。
   • 处理方式：农民工可向建设项目所在地的建设部门反映问题，提交工程承包合同、施工记录、工资被拖欠的证明等材料，建设部门将调查核实并协调解决工资拖欠问题。

5. 人力资源和社会保障行政部门会同相关行业工程建设主管部门

   • 职责：这些部门在建设工程领域负责处理拖欠农民工工资问题，建立健全根治拖欠农民工工资的工作协调机制，负责组织协调、监督检查相关工作，推进专项整治和联合执法。
   • 处理方式：农民工可通过拨打12333咨询服务热线或登录官方网站进行投诉举报，提供清晰准确的个人信息、用人单位信息及拖欠工资情况，相关部门将根据情况进行转办或直接调查处理。

建议：

• 收集证据：农民工在处理拖欠工资问题时，应尽可能收集并保留相关证据，如劳动合同、工作证、考勤记录、工资条等，以证明劳动关系的存在及工资被拖欠的事实。
• 及时投诉与申请仲裁：一旦发现工资被拖欠，应尽快向劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁，避免错过最佳维权时机。
• 寻求专业帮助：如遇复杂情况，农民工可考虑咨询律师或法律援助机构，获取更专业的法律支持和指导。

综上所述，企业拖欠农民工工资问题涉及多个部门的管理和处理。农民工应根据具体情况选择合适的维权途径，并充分利用法律武器保护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。