农民工遭遇工资拖欠时，工资的支付责任主体及维权途径如下：

1. 直接责任主体：

   • 用人单位：作为雇佣农民工的直接主体，用人单位（如公司、企业等）是工资支付的首要责任人。农民工应首先尝试与用人单位进行协商，明确表达诉求，要求其支付拖欠的工资。
   • 包工头：在建筑工程等领域，若农民工跟随包工头工作且遭遇工资拖欠，包工头作为实际用工管理者，同样负有支付工资的义务。农民工应向包工头说明情况，要求其履行支付责任。

2. 政府部门介入：

   • 劳动保障监察机构：农民工可向用工所在地的劳动保障监察机构投诉，并提供劳动合同、工资条、考勤记录等相关证据材料。劳动保障监察部门将依法对用人单位进行调查，一旦查实存在拖欠工资行为，将责令用人单位限期支付工资；逾期不支付的，还可责令用人单位按应付金额百分之五十以上百分之一百以下的标准向劳动者加付赔偿金。
   • 人力资源和社会保障局：该机构负责处理劳动纠纷，提供调解和仲裁服务。农民工可向其提出调解申请，由专业人员组织双方协商，达成一致的解决方案。若调解不成，可进一步申请劳动仲裁。
   • 建设行政主管部门：针对建筑行业的农民工，建设行政主管部门有责任监管工资支付情况。农民工可向该部门反映问题，由其督促建设单位和施工企业解决工资拖欠问题。

3. 法律途径：

   • 劳动争议仲裁委员会：若与用人单位就工资支付等问题存在争议，农民工可向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，需准备仲裁申请书及相关证据材料。仲裁裁决具有法律效力，若用人单位不履行仲裁裁决，农民工可向人民法院申请强制执行。
   • 人民法院：对仲裁结果不满意或用人单位不履行仲裁裁决的，农民工可向人民法院提起诉讼。同时，对于某些拖欠工资案件，农民工还可向法院申请支付令。根据《民法典》规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年，农民工应在时效期内提起诉讼。

4. 其他辅助途径：

   • 工会组织：工会是职工权益的代表者和维护者。农民工可加入所在单位或当地的工会组织，向其寻求帮助，由工会代表与用人单位协商谈判，维护农民工的合法权益。
   • 法律援助机构：对于经济困难、无法承担法律服务费用的农民工，可向当地的法律援助机构申请法律援助。该机构将为符合条件的农民工指派律师，免费提供法律咨询、代理仲裁或诉讼等法律服务。

建议与注意事项：

• 保留证据：在整个维权过程中，农民工应特别注意保留相关证据，如劳动合同、工资条、考勤记录、工作证、协商记录等，以便更好地支持自己的诉求。
• 及时行动：在遭遇工资拖欠时，农民工应及时采取行动，通过合法途径维护自身权益，避免错过诉讼时效或其他关键时间节点。

综上所述，农民工在遭遇工资拖欠问题时，应根据自身情况选择合适的解决途径，并充分利用法律武器维护自身合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。