结论前置：关于超过签劳动合同期五天公司是否可以辞退员工的问题，不能一概而论，需要分情况讨论。

1. 若劳动合同到期，双方均未提出续签，且员工继续在公司工作：

   • 在这种情况下，虽然原劳动合同已经到期，但双方形成了事实劳动关系。根据《劳动合同法》的相关规定，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。但这并不意味着公司可以随意辞退员工。如果公司想要辞退员工，仍然需要遵循《劳动合同法》中关于辞退的合法程序和条件，如提前通知、支付经济补偿等（若符合法定辞退情形）。若公司未遵循合法程序辞退员工，则可能构成违法辞退，需要承担相应的法律责任。

2. 若劳动合同到期，公司提出不续签，但员工继续在公司工作：

   • 如果公司明确表示不续签劳动合同，但员工仍然继续在公司工作，这同样形成了事实劳动关系。公司若想要终止这种关系，应当与员工协商一致，并按照《劳动合同法》的规定支付经济补偿（若符合支付条件）。若公司未经协商一致或未支付经济补偿而单方面辞退员工，则可能构成违法辞退。

3. 若劳动合同到期，员工提出不续签，但公司要求员工继续工作：

   • 在这种情况下，员工有权拒绝公司的要求，并可以要求公司支付到期后的工资（若实际提供了劳动）以及可能的经济补偿（若因公司原因导致劳动合同未续签）。如果公司强行要求员工继续工作并最终辞退员工，且未遵循合法程序，则同样可能构成违法辞退。

4. 特殊情况：劳动合同中约定了自动续签条款：

   • 如果劳动合同中明确约定了自动续签条款，且该条款不违反法律法规的强制性规定，那么在劳动合同到期后，双方将按照约定自动续签。在这种情况下，公司无权仅因劳动合同到期而辞退员工。

法律建议：

• 对于员工而言，如果劳动合同即将到期或已经到期，建议与公司及时沟通续签事宜，并明确自己的意愿和诉求。如果公司提出不续签或要求员工继续工作但未给出合理条件，员工可以咨询专业律师以维护自己的合法权益。
• 对于公司而言，如果想要辞退员工或终止劳动关系，应当遵循《劳动合同法》的相关规定，确保程序的合法性和合规性。避免因违法辞退而承担不必要的法律责任。

可能法律后果：

• 如果公司违法辞退员工，员工有权要求公司继续履行劳动合同、支付违法辞退的赔偿金或要求公司支付经济补偿等。具体赔偿金额和方式将根据员工的实际损失和公司的违法程度来确定。

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