双方签订协议后不可以不通过民政局把婴儿送养。以下从多个角度为您详细分析：

法律程序角度

根据我国现行有效的《中华人民共和国民法典》中关于收养的相关规定，收养应当向县级以上人民政府民政部门登记，收养关系自登记之日起成立。这意味着，送养婴儿必须通过民政局办理相关登记手续，双方私下签订的协议并不能产生合法的收养效力。未经民政部门登记的收养行为，在法律上是不被认可的，无法确立合法的收养关系。

法律后果角度

如果双方不通过民政局而私下送养婴儿，可能会面临一系列法律后果。一方面，这种行为可能构成违法行为，因为违反了国家关于收养登记的强制性规定。另一方面，由于收养关系未依法成立，送养人和收养人之间可能无法享有和履行法律规定的收养权利和义务，比如送养人可能无法要求收养人承担抚养教育被收养人的责任，收养人也可能无法获得被收养人的法定继承权等。此外，如果这种私下送养行为涉及到拐卖儿童等更严重的违法行为，相关责任人还可能面临刑事处罚。

实际操作角度

从实际操作的角度来看，不通过民政局送养婴儿也存在诸多困难和风险。首先，由于缺乏法律认可，收养关系的不确定性增加，双方可能因各种原因产生纠纷，如抚养费支付、教育医疗等问题的分歧。其次，私下送养往往缺乏必要的审查和监督机制，可能导致被收养儿童的权益无法得到保障，如遭受虐待、遗弃等。最后，如果未来需要办理与被收养儿童相关的法律手续，如户口迁移、入学等，由于缺乏合法的收养证明，可能会遇到诸多麻烦和障碍。

建议：如果您有送养或收养婴儿的需求，务必遵循法律程序，通过民政部门办理相关登记手续。这样不仅可以确保收养关系的合法性和稳定性，还可以保障被收养儿童的权益得到充分保障。如果您在送养或收养过程中遇到任何法律问题或困惑，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议和帮助。