当公安取保羁押期限届满而案件尚未办结时，这是一个涉及刑事诉讼程序的重要节点，需要犯罪嫌疑人、被告人以及司法机关都严格按照法律规定来处理。以下是对此情况的详细解答：
对于犯罪嫌疑人、被告人
严格遵守取保候审规定：
- 在取保候审期间，您必须严格遵守相关规定，包括但不限于未经执行机关批准不得离开所居住的市、县；住址、工作单位和联系方式发生变动的，需在二十四小时内向执行机关报告；传讯时需及时到案等。
- 违反这些规定可能会导致取保候审被取消，甚至可能重新被羁押，因此务必严格遵守。
积极配合司法机关工作：
- 您应积极配合司法机关的调查取证工作，如实陈述案件相关事实，提供线索，协助办案机关查明事实。
- 保持通讯畅通，以便司法机关能够及时联系您，确保案件的顺利进行。
密切关注案件进展：
- 通过委托的律师或自行了解案件的具体进展情况，包括侦查是否终结、是否移送审查起诉、检察机关是否提起公诉等。
- 及时掌握案件动态，为可能的法律程序做好准备，如出庭受审等。
依法维护自身合法权益：
- 如认为在案件办理过程中合法权益受到侵害，如存在刑讯逼供、超期羁押等情况，应及时向相关部门反映。
- 委托律师提供专业法律帮助，通过合法途径维护自己的权益。
对于司法机关
继续侦查、审查起诉和审判：
- 侦查机关应继续开展侦查工作，收集、调取证据材料，确保案件事实清楚、证据确实充分。
- 检察机关对移送的证据材料进行全面审查，决定是否提起公诉；若证据不足，可退回侦查机关补充侦查或自行侦查。
- 审判机关依法审理案件，根据查明的事实和法律规定作出公正判决。
严格遵守法定期限：
- 司法机关在办案过程中必须遵守法律规定的各种期限，如取保候审最长不得超过十二个月。
- 若在规定期限内案件未办结，应及时解除取保候审或变更强制措施，确保犯罪嫌疑人、被告人的合法权益不受侵害。
关于强制措施的变更或解除
- 若在取保候审期间发现犯罪嫌疑人、被告人可能存在实施新犯罪、企图自杀或逃跑等情形，司法机关可能会变更强制措施，如决定逮捕。
- 当案件办结、发现不应追究刑事责任或取保候审期限届满时，司法机关应及时解除取保候审，并通知被取保候审人和有关单位。
综上所述，面对公安取保羁押期限届满而案件尚未办结的情况，犯罪嫌疑人、被告人需严格遵守取保候审规定，积极配合司法机关工作，并密切关注案件进展以维护自身权益；司法机关则应依法继续办案，严格遵守期限，并根据案情适时处理强制措施的变更或解除。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请及时咨询专业律师。