当公安羁押期限届满，而案件尚未办结，需要继续侦查时，根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，可以采取取保候审这一非羁押性强制措施。以下是对此情况的详细解答：

一、取保候审的法律依据与适用条件

1. 法律依据：

   • 《刑事诉讼法》第九十八条规定，当案件不能在法定的侦查羁押期限内办结时，对犯罪嫌疑人应当予以释放；若需要继续查证，则可以对其取保候审。
   • 同时，《刑事诉讼法》第六十七条也明确列出了可以取保候审的具体情形，其中包括“羁押期限届满，案件尚未办结，需要采取取保候审”的情况。

2. 适用条件：

   • 案件未能在法定期限内办结，这涉及侦查阶段的期限规定。
   • 存在继续查证的需要，如证据收集不完整或案件事实存在疑难问题。
   • 犯罪嫌疑人符合取保候审的条件，如不致发生社会危险性，或者虽有危险但可通过其他措施防止或消除。

二、取保候审的申请与决定程序

1. 申请主体：

   • 被羁押的犯罪嫌疑人、被告人及其法定代理人、近亲属，以及聘请的律师均有权提出取保候审的申请。

2. 申请材料：

   • 需要提交书面的《取保候审申请书》，详细说明申请理由和拟采取的保证方式。
   • 若因疾病等特殊原因申请，需提供医院诊断证明等相关材料。
   • 同时，需要选择并提供保证金或保证人作为担保。保证金需按规定缴纳至指定银行账户；保证人需符合法定条件，并出具保证书。

3. 决定机关与审查：

   • 办案机关（包括公安机关、人民检察院或人民法院）会审查案件情况，综合考虑犯罪嫌疑人的社会危险性、案件性质、情节等因素，决定是否准予取保候审。
   • 审查时间虽无明确法律规定，但通常会在合理时间内完成。

4. 作出决定：

   • 若符合条件，办案机关将出具《取保候审决定书》，通知申请人，并责令提出保证人或交纳保证金。
   • 若不符合条件，将书面告知申请人并说明理由。

三、取保候审的执行与监督

1. 执行机关：

   • 取保候审由公安机关负责执行。

2. 期间要求：

   • 被取保候审人需严格遵守相关规定，如不得离开所居住的市、县，不得干扰证人作证，住址、工作单位和联系方式变动需在二十四小时内报告执行机关等。

3. 监督与检查：

   • 公安机关会定期或不定期地对被取保候审人进行检查，确保其遵守规定。

四、取保候审的期限与解除

1. 期限规定：

   • 取保候审的期限最长不得超过十二个月。

2. 期限届满处理：

   • 执行机关需在期限届满十五日前书面通知决定机关，由决定机关作出解除取保候审或变更强制措施的决定。

3. 解除条件与保证金退还：

   • 若被取保候审人在取保候审期间没有违反《刑事诉讼法》的规定，也没有故意重新犯罪，则在解除取保候审时，应退还保证金。
   • 县级以上执行机关制作《退还保证金决定书》，通知银行如数退还保证金，并书面通知决定机关。

五、重要提示

• 取保候审并不意味着案件已经了结或犯罪嫌疑人无罪，而是基于特定条件下的临时措施。
• 在取保候审期间，公安机关将继续调查案件，并根据调查结果决定是否对犯罪嫌疑人提起公诉。
• 被取保候审人应积极配合调查，并严格遵守相关法律法规和规定，以确保自身权益不受损害。

综上所述，当公安羁押期限届满而案件尚未办结时，可以依法申请取保候审。在申请过程中，需满足一定条件并按照规定的流程进行。若获得批准，被取保候审人需严格遵守相关规定，并积极配合案件的调查工作。