结论：打零工能否起诉公司，取决于零工与公司之间的法律关系以及具体纠纷的性质。若存在明确的劳动关系或事实劳动关系，且纠纷属于劳动争议范畴，则可以通过劳动仲裁或诉讼途径解决；若仅为劳务关系，则通常需直接向法院提起诉讼。以下从不同角度详细分析：
一、法律关系认定
劳动关系：
- 定义：根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，劳动关系是指用人单位与劳动者之间，依法所确立的劳动过程中的权利义务关系。
- 判断标准：若零工与公司之间签订了书面劳动合同，或虽未签订书面合同但存在事实劳动关系（如接受公司管理、从事公司安排的工作、领取公司支付的报酬等），则通常认定为劳动关系。
- 法律后果：若存在劳动关系，且纠纷属于劳动争议范畴（如工资支付、工伤赔偿、解除劳动合同等），则零工应首先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，再向人民法院提起诉讼。
劳务关系：
- 定义：劳务关系是指平等民事主体之间，一方提供劳务服务，另一方支付报酬的关系。
- 判断标准：若零工与公司之间仅为一次性或临时性的劳务提供与接受关系，且双方之间不存在管理与被管理的关系，则通常认定为劳务关系。
- 法律后果：若存在劳务关系，且纠纷属于民事纠纷范畴（如报酬支付、劳务质量等），则零工可以直接向人民法院提起诉讼，无需经过劳动仲裁程序。
二、纠纷性质与解决途径
劳动争议：
- 范围：包括因确认劳动关系发生的争议，因订立、履行、变更、解除和终止劳动合同发生的争议，因工作时间、休息休假、社会保险、福利、培训以及劳动保护发生的争议，因劳动报酬、工伤医疗费、经济补偿或者赔偿金等发生的争议等。
- 解决途径：根据《中华人民共和国劳动争议调解仲裁法》的规定，劳动争议应首先向劳动争议仲裁委员会申请仲裁，对仲裁裁决不服的，再向人民法院提起诉讼。
民事纠纷：
- 范围：除劳动争议外的其他纠纷，如报酬支付纠纷、劳务质量纠纷等。
- 解决途径：根据《中华人民共和国民事诉讼法》的规定，零工可以直接向人民法院提起诉讼，要求公司承担相应的民事责任。
三、实际操作建议
- 收集证据：无论属于劳动关系还是劳务关系，零工在起诉前均应收集相关证据，如工作证、工资条、工作记录、聊天记录等，以证明其与公司之间存在法律关系及纠纷的具体情况。
- 咨询专业律师：由于法律关系的认定和纠纷性质的判断可能涉及复杂的法律问题，建议零工在起诉前咨询专业律师，以获取更准确的法律意见和诉讼策略。
- 选择正确的解决途径：根据法律关系的认定和纠纷的性质，选择正确的解决途径（劳动仲裁或诉讼），以避免不必要的法律程序和成本。
如有进一步法律问题，可以直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供更详细的法律建议。