在我国现行法律框架下，第二顺位继承人因遗嘱继承遗产，一般无需缴纳遗产税，但可能涉及其他税费或费用。以下从不同角度详细分析：

1. 遗产税角度
   目前我国尚未开征遗产税，因此无论是第一顺位还是第二顺位继承人，通过遗嘱继承遗产均无需缴纳遗产税。这一政策适用于所有继承人，与继承顺序无关。

2. 其他税费或费用角度
   虽然遗产税未开征，但继承过程中可能涉及以下费用：

   • 公证费：若遗嘱需办理公证，公证处会按遗产价值比例收取公证费（具体标准因地区而异）。
     
   • 契税：若继承的遗产为房产且需过户，部分地区可能要求缴纳契税（但多数情况下，法定继承人继承房产免征契税，遗嘱继承人是否免征需结合地方政策）。
     
   • 个人所得税：若遗产包含股票、基金等金融资产，继承后转让可能产生个人所得税（按“财产转让所得”计征，税率20%）。
     
   • 其他费用：如评估费、登记费等（金额较小，依实际发生情况而定）。

3. 遗嘱效力与继承顺序的冲突
   根据《民法典》第1127条，继承开始后，由第一顺位继承人（配偶、子女、父母）继承，第二顺位继承人（兄弟姐妹、祖父母、外祖父母）不继承。但若第一顺位继承人放弃继承或丧失继承权，第二顺位继承人方可继承。
   您提到“第一顺位继承人健在但立遗嘱给第二顺位”，需明确：

   • 若遗嘱合法有效（如第一顺位继承人自愿放弃或遗嘱形式符合要求），第二顺位继承人可依遗嘱继承，此时税费问题同上。
     
   • 若遗嘱因违反法定继承顺序被认定无效（如第一顺位继承人未放弃且无丧失继承权情形），则第二顺位继承人无法继承，税费问题亦不成立。

建议：

• 办理继承前，先确认遗嘱效力（可携带遗嘱原件咨询律师或公证处）；
  
• 涉及房产、金融资产等，提前了解当地税务政策，避免遗漏费用；
  
• 如有疑问，可直接向我咨询具体操作流程及风险防范。