租政府的房子没签合同，双方形成的是不定期租赁关系，建议尽快补签合同并保留好相关证据，以维护自身合法权益。以下是对此问题的详细分析：
一、租赁关系的确定
不定期租赁的认定：
- 根据《中华人民共和国民法典》第七百零七条，租赁期限六个月以上的，应当采用书面形式。若未采用书面形式且无法确定租赁期限，则视为不定期租赁。
- 在您的情况下，由于未签订书面租赁合同，且租赁期限可能超过六个月，因此双方形成的是不定期租赁关系。
不定期租赁的权利与义务：
- 在不定期租赁中，双方均享有随时解除合同的权利，但出租人（即政府）解除合同需提前在合理期限内通知承租人（即您）。
- 同时，您作为承租人也有权随时解除合同，但同样需要提前通知政府。
二、补签合同的重要性与建议
补签合同的重要性：
- 补签书面租赁合同可以明确双方的权利义务，包括租赁期限、租金数额及支付方式、房屋维修责任等关键条款，有助于避免后续纠纷的发生。
- 书面合同也是证明租赁关系存在及双方约定的重要证据，在纠纷解决中将发挥重要作用。
补签合同的建议：
- 建议您尽快与政府协商并补签书面租赁合同，确保合同条款明确、具体，并符合双方的真实意愿。
- 在补签合同时，可以参考市场惯例或之前的交易习惯来确定租金支付方式和时间等条款。
三、租赁纠纷的预防与处理
租金支付纠纷：
- 在没有明确支付约定的情况下，双方应友好协商，确定租金支付方式和时间。
- 您应通过银行转账等有记录的方式支付租金，并在转账备注中注明“租金”，以保留支付证据。
房屋维修及损坏赔偿纠纷：
- 房屋自然损坏时，您应及时通知政府进行维修；若政府拒绝，您可自行维修并要求政府承担费用。
- 对于因您过错造成的房屋损坏，您应承担赔偿责任。
证据保留：
- 双方应妥善保留租金支付凭证、聊天记录、通话录音等相关证据，以证明租赁关系的存在及双方的约定。
- 这些证据在后续纠纷解决中将发挥重要作用，有助于维护您的合法权益。
四、提前终止租赁关系的处理
政府提前收回房屋：
- 在不定期租赁中，政府有权随时解除合同，但需提前在合理期限内通知您（通常认为提前一个月较为合理）。
- 若政府提前收回房屋给您造成损失（如装修费用、搬家费用等），您有权要求政府给予相应赔偿。
您提前退租：
- 您在不定期租赁中也有权随时解除合同，但需提前通知政府。
- 若您提前退租给政府造成损失（如租金损失、房屋空置期间的管理费用等），政府有权要求您给予赔偿。
五、总结与建议
虽然未签订租赁合同可能带来一定的法律风险，但通过及时补签合同、妥善保留证据以及合理协商和解决纠纷，您仍可以在很大程度上维护自身的合法权益。建议您在租房过程中务必重视书面合同的签订，并尽量详细约定各项条款以避免后续纠纷的发生。若遇到复杂或难以解决的问题，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。