在编小学教师的辞职流程是一个涉及多个部门和环节的过程，最终的处理通常是由多个部门协同完成的，但核心环节主要由教育局和人社局来主导。以下是详细的解答：

首先，辞职申请的提出： 教职工本人需要向所在学校提交书面辞职申请。这是整个辞职流程的起点，也是表达个人意愿的关键步骤。

接着，学校的研究与决定： 学校会集体研究该辞职申请，并根据实际情况做出是否同意的决定。如果学校同意辞职，那么会出具解除合同证明书，解除聘用合同，并终止人事关系。这一步骤是学校对辞职申请的正式回应，也是后续流程的基础。

然后，教育局的审批与上报： 学校同意辞职后，会将相关情况上报至教育局。教育局人事科会进一步审核辞职申请，并将其提交至教育局局长办公会议讨论。经局长办公会议讨论同意后，由教育局长签字，并报市人社局办理相关手续。这一步骤是教育局对辞职申请的官方审批，也是确保辞职流程合规性的重要环节。

此外，人社、编制、财政部门的办理： 在教育局审批通过后，还需要报人社、编制、财政部门办理相关手续，如编制注销、工资停发、社保转移等。这些部门会根据各自职责，对辞职申请进行进一步的处理和确认。

最后，辞职后的相关事宜： 辞职后，教职工的户口、档案等关系需要按程序转走，不再与原学校或教育局有任何关系。同时，如果辞职教职工有养老保险和医疗保险等社保需求，也需要按照相关规定办理转移手续。

不得辞职的特殊情况： 需要注意的是，如果教职工存在某些特殊情况（如教育工作阶段性任务尚未完成、正在接受审查、未满服务年限、所在学校严重缺编等），则可能不得辞职。这些规定是为了确保学校教学工作的正常开展和师资队伍的稳定。

综上所述，在编小学教师的辞职流程最终是由教育局和人社局等部门协同处理完成的。整个流程需要遵循一定的规定和程序，以确保辞职的合规性和有序性。如果您有进一步的疑问或需要具体的操作指导，建议咨询所在学校的人事部门或当地教育局的相关科室。