如果在网上购买的小鸟在一星期内死亡且商家拒绝退款，您可以根据以下不同情况采取相应的措施：

1. 商家存在违约或欺诈行为：

   • 法律背景：根据《中华人民共和国消费者权益保护法》的相关规定，消费者在购买商品时享有知情权、选择权、公平交易权等基本权利。如果商家在销售过程中存在虚假宣传、隐瞒商品真实情况（如小鸟的健康状况、年龄等）或者未按照约定提供商品（如提供的小鸟存在疾病或不符合约定的品种、年龄等），则构成违约或欺诈行为。
   • 建议措施：您可以首先尝试与商家协商，要求商家承担退款、换货或赔偿等责任。如果商家拒绝协商或协商无果，您可以向消费者协会投诉，或者通过法律途径（如提起民事诉讼）来维护自己的合法权益。在提起诉讼时，您需要提供相关证据（如购买记录、小鸟死亡的照片或视频、与商家的沟通记录等）来证明商家的违约或欺诈行为。

2. 商家未违约，但小鸟死亡原因可归责于商家：

   • 法律背景：即使商家在销售过程中没有明显的违约或欺诈行为，但如果小鸟的死亡是由于商家提供的商品存在质量问题（如小鸟本身患有疾病、未经过适当的检疫等）或者商家在运输、包装过程中存在过错（如未提供适当的运输条件、包装不当等），导致小鸟死亡，那么商家仍然需要承担一定的责任。
   • 建议措施：在这种情况下，您同样可以首先与商家协商，要求商家承担相应的责任。如果商家拒绝承担责任，您可以考虑通过法律途径来维权。在维权过程中，您需要提供证据证明小鸟的死亡与商家提供的商品或服务存在因果关系（如兽医的诊断报告、运输记录等）。

3. 商家未违约，且小鸟死亡原因不可归责于商家：

   • 法律背景：如果小鸟的死亡是由于不可抗力（如自然灾害、意外事件等）或者您自身的过错（如未按照商家的指示进行饲养、未提供适当的饲养环境等）导致的，那么商家可能不需要承担责任。
   • 建议措施：在这种情况下，您可能需要自行承担损失。不过，即使商家不需要承担法律责任，您仍然可以尝试与商家协商，看是否能够获得一定的补偿或优惠（如下次购买时的折扣等）。

在处理此类纠纷时，您还需要注意以下几点：

• 保留证据：无论是与商家的沟通记录、购买记录、小鸟死亡的照片或视频，还是兽医的诊断报告等，都是维权的重要证据。因此，您需要妥善保管这些证据。
• 及时维权：一旦发现小鸟死亡且商家拒绝退款，您应尽快采取行动，避免超过法律规定的维权时效。
• 理性沟通：在与商家协商或处理纠纷时，保持理性沟通，避免情绪化或过激的行为，有助于更好地解决问题。

如果商家仍然拒绝退款且您认为自己的权益受到了侵害，我建议您及时寻求法律帮助。作为专业律师，我可以根据您的具体情况提供更详细的法律建议和帮助。