公司解除员工劳动合同，在大多数情况下并不需要员工提交赔偿证明，反而是公司可能需要向员工出具解除劳动合同证明，并在特定情况下支付经济补偿或赔偿金。以下从不同角度详细分析：
一、公司解除劳动合同的证明义务
根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十条的规定，用人单位应当在解除或者终止劳动合同时出具解除或者终止劳动合同的证明。这表明，从法律层面来看，公司有义务在解除劳动合同时向员工出具相关证明，而不是要求员工提交赔偿证明。
二、公司解除劳动合同需支付经济补偿或赔偿金的情形
协商一致解除且由公司提出：
- 根据《劳动合同法》相关条款，若公司与员工协商一致解除劳动合同，且由公司提出，公司需按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付经济补偿。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 实例：如员工在公司工作了3年零2个月，公司与员工协商一致解除劳动合同且由公司提出，则公司应支付3.5个月工资的经济补偿。
无过失性辞退：
- 若员工因患病或非因工负伤不能从事原工作、不能胜任工作经过培训或调整岗位仍不能胜任、劳动合同订立时的客观情况发生重大变化无法履行等情形，公司提前三十日书面通知解除劳动合同的，也需支付相应经济补偿。
- 实例：如员工因病无法继续工作，公司提前三十日书面通知解除劳动合同，并支付相应经济补偿。
经济性裁员：
- 若公司因破产重整、生产经营发生严重困难等原因进行经济性裁员，同样需支付经济补偿。
- 实例：如公司因市场不景气进行裁员，被裁员工有权获得相应经济补偿。
违法解除劳动合同：
- 若公司违反《劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，需依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
- 实例：如公司无任何合法理由单方面解除与员工的劳动合同，需支付赔偿金。
三、员工在解除劳动合同中的权益
要求公司出具解除劳动合同证明：
- 员工有权要求公司出具解除劳动合同证明，以便办理失业登记、领取失业保险金、新单位入职审查以及社保关系转移等手续。
主张经济补偿或赔偿金：
- 在符合上述需支付经济补偿或赔偿金的情形下，员工有权向公司主张相应权益。
四、特殊情况下的处理
若公司拒绝出具解除劳动合同证明：
- 员工可以向当地劳动监察部门投诉，劳动监察部门有权责令公司改正；若因此给员工造成损害的，公司应当承担赔偿责任。
若员工不慎丢失解除劳动合同证明：
- 员工可以向原公司申请补办。公司一般会留存相关的记录，可以根据实际情况为员工重新出具证明。
总结来看，公司解除员工劳动合同时，并不需要员工提交赔偿证明。相反，公司有义务出具解除劳动合同证明，并在特定情况下支付经济补偿或赔偿金。员工在解除劳动合同过程中，应了解自己的权益，并在必要时采取法律手段维护自己的合法权益。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。