若医院晋升职称下乡不予支持，可先尝试通过内部沟通、申诉等途径解决，若无法解决，可考虑通过劳动仲裁或诉讼等法律途径维护自身权益。以下从不同角度进行分析：

一、内部沟通与申诉

1. 了解政策依据：首先，需要明确医院晋升职称下乡的政策依据。如果医院有明确的规章制度要求晋升职称需要下乡服务，且该制度符合相关法律法规和政策要求，那么医院不予支持可能存在合理的理由。此时，应仔细研究相关政策文件，了解下乡服务的具体要求、期限、待遇等，以便更好地与医院沟通。
2. 与医院沟通：在了解政策依据后，可以与医院的人力资源部门或相关负责人进行沟通，表达自己晋升职称的意愿和下乡服务的准备情况。询问医院不予支持的具体原因，并尝试协商解决方案。例如，如果是因为医院下乡名额有限，可以询问是否有其他替代方案或等待下一批名额。
3. 提出申诉：如果与医院沟通无果，且认为医院不予支持的决定存在不合理之处，可以向医院的上级主管部门或相关监管机构提出申诉。在申诉过程中，需要提供充分的证据和理由，说明自己符合晋升职称和下乡服务的条件，以及医院不予支持的不合理性。

二、法律途径

1. 劳动仲裁：如果医院的行为违反了劳动合同或相关法律法规，可以考虑向劳动仲裁机构申请仲裁。在申请仲裁前，需要收集相关证据，如劳动合同、医院规章制度、沟通记录等，以证明医院的行为违法或不当。劳动仲裁机构将根据事实和法律法规进行裁决，如果裁决支持你的诉求，医院将需要履行相应的义务。
2. 诉讼：如果劳动仲裁未能解决问题，或者对仲裁结果不满意，可以向人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，需要提交详细的起诉状和证据材料，说明自己的诉求和理由。法院将依法审理案件，并作出判决。如果判决支持你的诉求，医院将需要承担相应的法律责任。

三、其他建议

1. 关注政策动态：及时关注国家和地方关于职称晋升和下乡服务的政策动态，了解最新要求和标准。这有助于更好地规划自己的职业发展路径，并提前做好准备。
2. 提升自身能力：无论是否下乡服务，都应不断提升自己的专业能力和综合素质。这有助于在职称晋升中脱颖而出，并增加医院支持的可能性。
3. 寻求同行支持：可以与其他同行交流经验，了解他们在晋升职称和下乡服务过程中遇到的问题和解决方案。这有助于拓宽思路，找到更适合自己的解决方案。