当债务人死亡后，债权人起诉其继承人时，主要涉及的案由是“被继承人债务清偿纠纷”。这一案由直接关联到债务人遗留的债务需由继承人在继承遗产范围内承担清偿责任的法律问题，且这一原则由《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条明确规定支持。

一、被继承人债务清偿纠纷的详细解析

1. 适用情况：

   • 当债务人死亡，其遗留的债务需要由继承人来承担时，债权人可以依据“被继承人债务清偿纠纷”为案由起诉继承人。
   • 继承人需在继承遗产的实际价值范围内承担清偿责任；若债务超过遗产价值，除非继承人自愿，否则不负有超出部分的清偿责任；若继承人放弃继承，则对债务不负责任。

2. 法律依据：

   • 主要依据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十一条，该条款明确规定了继承人在继承遗产时应承担的债务清偿责任。

3. 实例说明：

   • 例如，甲向乙借款后去世，甲的继承人丙继承了甲的部分财产。乙可以基于“被继承人债务清偿纠纷”为案由起诉丙，要求丙在继承范围内偿还甲的借款。

二、其他可能的案由

除了“被继承人债务清偿纠纷”外，根据债务的基础法律关系，债权人还可以选择其他案由起诉继承人：

1. 民间借贷纠纷：

   • 若债务源于民间借贷，债权人可以“民间借贷纠纷”为案由起诉继承人，要求其偿还借款本息。
   • 此时，除民法典外，还涉及《最高人民法院关于审理民间借贷案件适用法律若干问题的规定》等相关法律法规。

2. 合同纠纷：

   • 当债务基于合同产生，如买卖合同、租赁合同等，债务人在合同履行中死亡时，债权人可以“合同纠纷”为案由起诉继承人。
   • 继承人可能在继承遗产范围内承担相应的违约责任。

三、综合处理建议

在处理此类案件时，法院会综合考虑债务的真实性、遗产的价值、继承人的实际情况以及相关法律法规的规定来作出公正裁决。对于债权人而言，明确债务的基础法律关系、收集充分的证据、了解继承人的状况是至关重要的。同时，建议债权人咨询专业律师以获取更具体的法律意见和帮助，确保自身权益得到有效维护。

综上所述，当债务人死亡后，债权人起诉其继承人时，最典型的案由是“被继承人债务清偿纠纷”。但根据债务的基础法律关系，债权人也可以选择“民间借贷纠纷”或“合同纠纷”等案由。在处理此类案件时，应咨询专业律师以确保权益得到有效保障。