仲裁裁决被撤销后，当事人能否根据原合同约定重新提起仲裁，需视具体情况而定，但通常情况下，若未重新达成仲裁协议，则不能直接依据原合同约定重新仲裁。以下是对此问题的详细分析：

一、一般原则与法律依据

根据《中华人民共和国仲裁法》第九条的规定：“仲裁实行一裁终局的制度。裁决作出后，当事人就同一纠纷再申请仲裁或者向人民法院起诉的，仲裁委员会或者人民法院不予受理。裁决被人民法院依法裁定撤销或者不予执行的，当事人就该纠纷可以根据双方重新达成的仲裁协议申请仲裁，也可以向人民法院起诉。”这一规定明确了在仲裁裁决被撤销或不予执行的情况下，当事人的救济途径。

二、具体情形分析

1. 重新达成仲裁协议：

   • 若仲裁裁决因程序违法、证据不足等原因被撤销，且双方当事人仍希望通过仲裁方式解决争议，那么他们可以自愿达成新的仲裁协议。该协议需明确约定仲裁事项、选定的仲裁委员会等核心要素，且不得包含违反法律强制性规定的条款。
   • 在此情况下，当事人可以依据新达成的仲裁协议，重新向仲裁委员会申请仲裁。

2. 未重新达成仲裁协议：

   • 若双方当事人未就争议事项重新达成仲裁协议，或者原仲裁协议因某种原因（如超裁）而无效，且未就超出部分达成新的仲裁协议，那么当事人就不能直接依据原合同约定重新提起仲裁。
   • 在此情况下，当事人应向人民法院提起诉讼，通过诉讼程序解决争议。

3. 劳动争议仲裁的特殊情况：

   • 在劳动争议案件中，如果用人单位向中级人民法院申请撤销终局裁决并获得支持，劳动者和用人单位不能重新申请劳动仲裁。
   • 相反，他们应自收到裁定书之日起十五日内就该劳动争议事项向人民法院提起诉讼。这是劳动争议案件特殊的处理机制，旨在给予当事人更便捷和合适的司法救济途径。

三、实际操作建议

• 明确撤销原因：在面临仲裁裁决被撤销的情况时，当事人应首先明确撤销的具体原因，以便评估是否有可能重新达成仲裁协议。
• 咨询专业意见：由于仲裁和诉讼程序均涉及复杂的法律问题和程序要求，建议当事人在决定重新申请仲裁或提起诉讼前，咨询专业律师的意见，以便获取更准确的法律指导和制定合适的纠纷解决策略。
• 注意时效问题：无论是重新申请仲裁还是提起诉讼，当事人都应注意相关时效问题，避免因超过法定期间而丧失胜诉权。

综上所述，仲裁裁决被撤销后，当事人能否根据原合同约定重新提起仲裁并非一成不变，而是需根据撤销原因、当事人之间的仲裁协议情况以及具体案情来综合判断。在实际操作中，应遵循法律法规的相关规定，并结合具体情况做出合理决策。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。