结论前置：在一个单位工作了十六年以上，中间离职半个月，单位是否有资格开除你，这并非一个简单的是非问题，而是需要依据具体情况和法律规定来判断。以下我将从多个角度为你详细分析。
关于劳动合同的连续性与中断：
- 你在该单位工作了十六年以上，这通常意味着你与单位之间建立了长期且稳定的劳动关系。然而，中间离职半个月这一行为，实际上中断了这种连续性。但关键在于，离职的原因、离职期间双方的权利义务关系，以及离职后是否重新建立了劳动关系。
- 如果离职是出于你个人的原因，且离职期间你与单位之间的劳动关系已经正式终止（如办理了离职手续、结算了工资等），那么当你重新入职时，实际上是与单位建立了新的劳动关系。在这种情况下，单位是否有权开除你，将取决于新劳动合同的约定以及你是否违反了新合同中的相关规定。
- 如果离职并非出于你个人的完全自愿，或者离职期间双方并未完全终止劳动关系（如停薪留职、内部调动等），那么当你返回单位工作时，可能仍被视为原劳动关系的延续。在这种情况下，单位开除你需要符合《劳动合同法》中规定的合法解除劳动合同的情形。
单位开除员工的合法情形：
- 根据《劳动合同法》的相关规定，单位在以下情形下可以合法解除劳动合同：
- 劳动者在试用期间被证明不符合录用条件的；
- 劳动者严重违反用人单位的规章制度的；
- 劳动者严重失职，营私舞弊，给用人单位造成重大损害的；
- 劳动者同时与其他用人单位建立劳动关系，对完成本单位的工作任务造成严重影响，或者经用人单位提出，拒不改正的；
- 劳动者以欺诈、胁迫的手段或者乘人之危，使用人单位在违背真实意思的情况下订立或者变更劳动合同的；
- 劳动者被依法追究刑事责任的；
- 劳动者患病或者非因工负伤，在规定的医疗期满后不能从事原工作，也不能从事由用人单位另行安排的工作的；
- 劳动者不能胜任工作，经过培训或者调整工作岗位，仍不能胜任工作的；
- 劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，经用人单位与劳动者协商，未能就变更劳动合同内容达成协议的。
- 如果单位想要开除你，必须证明你存在上述情形之一，并且按照法定程序进行。
关于你的具体情况与建议：
- 鉴于你已经在该单位工作了十六年以上，且中间离职半个月，我建议你首先回顾一下离职期间的具体情况，以及离职后与单位是否重新签订了劳动合同。
- 如果单位想要开除你，你可以要求单位出具书面的解除劳动合同通知书，并明确解除的理由。如果认为单位的解除行为不合法，你可以向当地的劳动仲裁委员会申请劳动仲裁，维护自己的合法权益。
- 在整个过程中，我建议你保留好与单位之间的所有书面沟通记录、劳动合同、工资单等证据材料，以便在需要时提供证明。
总结与进一步行动建议：单位是否有资格开除你，取决于你离职期间的具体情况、离职后与单位的关系以及你是否违反了劳动合同或单位规章制度中的相关规定。如果你对单位的解除行为有异议，我建议你及时咨询专业律师（即我本人），并准备好相关证据材料，以便在需要时维护自己的合法权益。如果你有任何进一步的法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。