当公司因部门亏损而决定解散该部门，并因此需要辞退员工时，赔偿问题需严格依据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定来处理。以下是对此问题的详细解答：
一、合法解除劳动合同的经济补偿
适用条件：
- 根据《劳动合同法》第四十条第三项，若部门解散导致劳动合同订立时所依据的客观情况发生重大变化，致使劳动合同无法履行，且用人单位与劳动者协商未能就变更劳动合同内容达成协议，用人单位可以提前三十日以书面形式通知劳动者本人或者额外支付劳动者一个月工资后，解除劳动合同。
补偿标准：
- 经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，以每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，支付半个月工资的经济补偿。
- 月工资是指劳动者在劳动合同解除或终止前十二个月的平均工资。
- 若劳动者月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍的，经济补偿标准按职工月平均工资三倍的数额支付，且支付年限最高不超过十二年。
举例：
- 假设员工A在公司工作了4年，其劳动合同解除前十二个月的平均工资为6000元。公司应支付的经济补偿为4个月工资，即24000元。若未提前三十日书面通知，还需额外支付一个月工资6000元，总计30000元。
二、违法解除劳动合同的赔偿
适用条件：
- 如果公司辞退员工的程序不符合法律规定，如未与员工协商变更劳动合同、未提前三十日书面通知或未额外支付一个月工资等，则构成违法解除劳动合同。
赔偿标准：
- 根据《劳动合同法》第八十七条，用人单位违反本法规定解除或终止劳动合同的，应依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。
举例：
- 沿用上述员工A的例子，若公司违法解除与A的劳动合同，则应支付的赔偿金为经济补偿标准的二倍，即48000元。若未提前三十日书面通知，原本需额外支付的一个月工资6000元仍需支付，总计54000元。
三、其他权益保障
工资结算：
- 用人单位在解除劳动合同时，应一次性付清劳动者工资，不得拖欠。
社保和公积金：
- 用人单位应按规定办理社保和公积金减员手续，确保员工权益不受影响。员工在失业期间，符合条件的可申请领取失业保险金。
特殊情况考虑：
- 对于孕期、产期、哺乳期女职工，以及连续工作满十五年且距退休不足五年的员工，用人单位应优先留用或适当安置，不得随意解除合同。若违反，需支付赔偿金。
- 若员工月工资高于当地上年度职工月平均工资三倍，经济补偿标准按该三倍数额支付，且年限最高不超过十二年。
- 公司解散前未安排员工休完年假的，应按日工资收入的300%支付未休年假工资报酬。
- 如存在专项培训协议、竞业限制协议等，因公司解散导致协议无法履行的，需根据协议约定给予相应赔偿或补偿。
四、离职手续与证明
- 在支付完所有经济补偿和其他相关费用后，公司应向员工提供《终止劳动关系证明》，并协助办理档案及社会保险转移等手续。
五、法律途径
- 若双方就赔偿问题协商不成，员工可向当地劳动争议仲裁委员会申请仲裁，以维护自身合法权益。
综上所述，公司在部门亏损解散导致员工被辞退时，必须严格遵守《劳动合同法》的相关规定，根据具体情况判断是合法解除还是违法解除，并据此支付相应的经济补偿或赔偿金。同时，还应确保员工的工资、社保、公积金等权益得到妥善处理，并协助员工办理离职手续。