在外派期间突发疾病死亡的情况下，供养亲属通常不承担责任，但可能享有相应的工伤保险待遇或抚恤金等权益。以下从不同角度进行分析：

一、供养亲属的责任问题

1. 法律责任角度：

   • 供养亲属，通常指的是依靠死者生前提供主要生活来源的配偶、子女、父母等近亲属。在劳动者外派期间突发疾病死亡的情况下，供养亲属本身并不承担任何法律责任。这是因为疾病的发生往往具有突发性和不可预见性，且与供养亲属的行为无关。

2. 因果关系角度：

   • 从因果关系的角度来看，供养亲属的行为与劳动者的死亡之间不存在直接的因果关系。因此，要求供养亲属承担责任缺乏法律上的依据。

二、供养亲属的权益问题

1. 工伤保险待遇：

   • 根据《工伤保险条例》的相关规定，劳动者在工作时间和工作岗位上突发疾病死亡或者在48小时之内经抢救无效死亡的，视同工伤。这意味着，在这种情况下，劳动者的供养亲属有权享受工伤保险待遇，包括丧葬补助金、供养亲属抚恤金和一次性工亡补助金等。
   • 丧葬补助金：为6个月的统筹地区上年度职工月平均工资。
   • 供养亲属抚恤金：按照职工本人工资的一定比例发给由因工死亡职工生前提供主要生活来源、无劳动能力的亲属。标准为：配偶每月40%，其他亲属每人每月30%，孤寡老人或者孤儿每人每月在上述标准的基础上增加10%。核定的各供养亲属的抚恤金之和不应高于因工死亡职工生前的工资。
   • 一次性工亡补助金：标准为上一年度全国城镇居民人均可支配收入的20倍。

2. 其他可能的权益：

   • 除了工伤保险待遇外，如果劳动者与用人单位之间存在其他约定（如补充保险、商业保险等），供养亲属还可能根据这些约定享受额外的权益。

三、特殊情况下的考虑

• 疾病与工作的关联性：如果劳动者的疾病与其工作性质、工作环境等存在直接关联（如职业病），那么供养亲属在享受工伤保险待遇的同时，还可能根据相关法律法规追究用人单位的责任。但这种情况下的责任追究与供养亲属本身无关，而是针对用人单位的违法行为。
• 用人单位的责任：用人单位在外派劳动者期间，有义务为劳动者提供必要的安全保障和劳动保护措施。如果用人单位未履行这些义务，导致劳动者突发疾病死亡，那么用人单位可能需要承担相应的法律责任。但这同样不涉及供养亲属的责任问题。

总结与建议：在外派期间突发疾病死亡的情况下，供养亲属通常不承担责任，但有权享受工伤保险待遇和其他可能的权益。如果供养亲属对具体的权益享受或责任承担存在疑问，建议直接向我咨询，以便根据具体情况提供更详细的法律建议。