核心结论：员工未签劳动合同23个月，用人单位需支付22个月双倍工资差额（第1个月不计算），同时双方视为已订立无固定期限劳动合同，用人单位需补签书面合同。若员工因此离职，还可主张经济补偿金。以下是具体分析：

1. 双倍工资差额的赔偿规则

根据《劳动合同法》第82条，用人单位自用工之日起超过1个月不满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，需向劳动者每月支付双倍工资（即除正常工资外，额外支付1倍工资作为赔偿）。

• 计算方式：从第2个月起算，至第12个月（共11个月）的双倍工资差额。但您的情况是23个月未签合同，超过12个月的部分（即第13个月至第23个月）不再适用双倍工资规则，而是直接视为已订立无固定期限劳动合同。
  
• 实际赔偿：23个月未签合同，用人单位需支付11个月双倍工资差额（第2-12个月）+ 第13-23个月视为无固定期限合同（无额外赔偿，但需补签合同）。
  但需注意：若您所在地区对“双倍工资差额”的仲裁时效有特殊规定（如从劳动关系终止之日起算1年），可能影响最终赔偿金额。建议结合当地司法实践进一步确认。

2. 视为订立无固定期限劳动合同的后果

根据《劳动合同法》第14条，用人单位自用工之日起满1年未与劳动者订立书面劳动合同的，视为双方已订立无固定期限劳动合同。此时：

• 用人单位需立即补签书面无固定期限劳动合同，否则可能面临劳动行政部门责令改正或进一步处罚；
  
• 若员工因此提出离职，用人单位需支付经济补偿金（按工作年限计算，每满1年支付1个月工资，23个月约支付2个月工资）。

3. 员工可主张的其他权利

• 社保与公积金：用人单位未签合同期间，若未缴纳社保或公积金，员工可要求补缴；
  
• 加班费、年终奖等：若存在未支付的加班费、年终奖等，员工可一并主张；
  
• 举证责任：员工需证明劳动关系存续（如工资流水、考勤记录、工作证等），用人单位若主张已签合同，需承担举证责任。

4. 实务建议

• 员工：尽快收集劳动关系证据，向用人单位提出补签合同或赔偿要求；若协商无果，可向劳动仲裁委申请仲裁（时效为1年，从知道权益受损之日起算）；
  
• 用人单位：立即补签无固定期限劳动合同，避免进一步法律风险；若对赔偿金额有异议，可委托律师评估具体方案。

如有进一步疑问（如赔偿计算细节、仲裁流程等），可直接向我咨询，我会结合您的具体情况详细解答。