结论：医院医生推脱责任时，患者或家属可以报案，但需根据具体情况选择合适的报案途径和策略。以下从多个角度进行分析：
一、报案的法律基础与途径
报案的法律基础：
- 当医生的行为涉嫌构成医疗事故或医疗过错，且该行为可能触犯刑法（如医疗事故罪）或行政法规（如违反《医疗事故处理条例》）时，患者或家属有权向公安机关报案。
- 报案的目的是为了启动刑事或行政调查程序，以查明事实真相，追究相关责任人的法律责任。
报案的途径：
- 向公安机关报案：如果医生的行为涉嫌犯罪，如故意伤害、医疗事故罪等，患者或家属应直接向当地公安机关报案，并提供相关证据材料。
- 向卫生行政部门投诉：如果医生的行为违反了医疗管理法规或规章，但尚未构成犯罪，患者或家属可以向当地卫生行政部门投诉，要求其对医生的行为进行调查和处理。
二、报案前的准备与证据收集
收集证据：
- 在报案前，患者或家属应尽可能收集与医疗纠纷相关的证据，包括病历资料、诊断证明、检查报告、治疗记录、费用清单等。
- 如果可能的话，还可以收集目击者证言、录音录像等证据，以证明医生的行为存在过错或不当。
咨询专业律师：
- 在报案前，患者或家属可以咨询专业律师，了解报案的法律程序和可能面临的法律风险。
- 律师可以协助患者或家属分析证据材料，制定报案策略，并提供法律支持。
三、报案后的法律程序与可能结果
刑事调查程序：
- 如果公安机关认为医生的行为涉嫌犯罪，将启动刑事调查程序，对医生进行讯问、勘验、检查等调查活动。
- 如果调查结果证实医生的行为构成犯罪，将依法追究其刑事责任。
行政调查程序：
- 如果卫生行政部门认为医生的行为违反了医疗管理法规或规章，将启动行政调查程序，对医生进行调查和处理。
- 行政调查的结果可能包括警告、罚款、吊销执业证书等行政处罚。
民事赔偿程序：
- 无论医生的行为是否构成犯罪或受到行政处罚，患者或家属都有权要求医生或医疗机构承担民事赔偿责任。
- 民事赔偿程序通常通过诉讼或调解等方式进行，患者或家属可以依据《民法典》等相关法律规定，要求医生或医疗机构赔偿因医疗过错造成的损失。
四、特殊情况下的处理建议
医生行为不构成犯罪或行政违法：
- 如果医生的行为虽然存在过错，但尚未构成犯罪或行政违法，患者或家属可以通过与医疗机构协商、申请医疗事故鉴定或提起民事诉讼等方式解决纠纷。
医生行为涉嫌犯罪但证据不足：
- 如果医生的行为涉嫌犯罪，但证据不足或存在争议，患者或家属可以积极配合公安机关调查，提供更多证据材料，或寻求律师的帮助，以维护自己的合法权益。
建议：在面对医院医生推脱责任的情况时，患者或家属应保持冷静，及时收集证据，咨询专业律师，并根据具体情况选择合适的报案途径和策略。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。