交通逃逸肇事一个月对方不赔偿，警方不立即抓人可能存在多种合法合理情形，具体如下：

1. 案件尚未达到刑事立案标准

交通肇事逃逸案件是否构成刑事犯罪，需满足《刑法》第一百三十三条规定的“交通运输肇事后逃逸或者有其他特别恶劣情节”情形。若事故仅造成轻微财产损失或人员轻伤，未达到“致人重伤、死亡或重大财产损失”的刑事立案标准，警方将按《道路交通安全法》第九十九条处理，采取行政拘留（15日以下）、罚款（200-2000元）及吊销驾照等行政处罚，而非刑事拘留。此时警方不“抓人”属于依法履职。

1. 证据收集未完成

刑事立案需满足“有证据证明有犯罪事实”的条件。若逃逸车辆信息不全（如未查获车辆、未锁定嫌疑人身份）、现场证据不足（如监控模糊、目击者证言矛盾）或伤情鉴定未完成（如需观察伤者恢复情况确定伤残等级），警方需继续调查取证。根据《刑事诉讼法》第一百一十五条，公安机关对立案审查期限一般不超过7日，对重大疑难案件可延长至30日。在此期间，警方可能暂未采取强制措施，但会持续侦查。

1. 嫌疑人未到案

若已锁定嫌疑人身份但未抓获（如嫌疑人逃匿外地），警方会发布通缉令或上网追逃，但需时间协调跨区域协作。根据《公安机关办理刑事案件程序规定》第二百六十五条，通缉令发布后，公安机关需通过全国在逃人员信息系统等渠道追捕，此过程可能耗时较长，但不影响案件刑事立案性质。

1. 民事赔偿与刑事责任分离

对方拒绝赔偿属于民事纠纷，需通过民事诉讼解决。根据《民法典》第一千二百一十三条，受害人可向法院提起民事诉讼，要求肇事者赔偿医疗费、误工费等损失。若肇事者未履行判决，可申请强制执行（如查封财产、限制高消费等）。刑事责任与民事赔偿独立，警方不因赔偿问题直接采取刑事强制措施，但若肇事者同时存在“有能力履行而拒不履行判决”情形，可能构成《刑法》第三百一十三条规定的拒不执行判决罪，此时需法院移送线索后警方立案。

建议行动方案：

1. 要求警方出具书面说明：若对案件处理进度有疑问，可要求警方出具《立案告知书》或《不予立案通知书》，明确案件性质及处理依据。
2. 申请刑事复议：若认为符合刑事立案条件但未立案，可在收到不予立案通知书后7日内向原公安机关申请复议，或向上一级公安机关申请复核。
3. 提起民事诉讼：同步准备医疗记录、事故认定书等证据，向法院起诉要求赔偿，并申请财产保全防止对方转移资产。
4. 监督举报：若发现警方存在不作为情形（如故意拖延、徇私枉法），可向公安机关督察部门或检察院投诉。

交通肇事逃逸案件处理需严格遵循刑事与行政程序，警方不立即抓人未必违法，但您有权通过合法途径监督案件进展并维护自身权益。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体法律问题。